其中，y(k)是p维输出向量，u(k)是q维输入控制向量，为保证输出可控性条件，限制P≤q, 并要求A(Z1),B(Z1)左互质；{(k)}为P维具有零均值和协方差陈R,的独立 同分布随机向量序列；Z1为单位时间延迟算子，即Z1y(k)=y(k-1);d-1为系统的 纯藩后时向，系数多项式阵A(Z),C(Z)∈R2,B(Z-)∈R,, PXq A(Z-1)=Ip+AZ-1+..+An.Z- B(Z-1)=Bo+BiZ-1+...BnZ- C(Z-1)=Ip +C1Z-1+.+CncZ-c 要求Bo是行满秩的，detC(Z1)的根在Z平面的单位圆内。 给定的性能指标为。 J=E{iP(Z-1)y(k+d)-R(Z-1)W(k)+Q'(Z-1)u(k)2) (2) 其中W(k)是P维参考信号向量，且可以是时变的；E{·}表示取数学期望；加权多项式 矩阵 R(Z,P(Z-)∈R2,Q(Z)∈R, P(Z1)=P0+P,Z-i+…+Pn,Z-apnp≤d-1 R(Z-1)=R0+R,Z-1+…+Rn,Z Q'(Z1)=Q'0+Q':Z-1+…+QnZ 要求P(Z1)稳定，P。非奇异。 定义辅助系统输出， (k)△P(Z1)y(k) (3) 引入多项式矩阵变换： A(Z-1)P(Z1)=P(Z1)A(Z1) C(Z-1)=P(Z-1)C(Z-1) (4) B(Z1)=P(Z1)B(Z1) 并满足detA(Z1)=detA(Z1),Ao=I。由多项式矩阵的伪交换定理11)可知，A(Z1), P(2-)∈R2X)是存在的，但是并不唯一。由于A=I,所以有P0=P, A(Z-1)=I+A]Z-1+.+An.Z- B(Z-1)=Bo+BiZ-1+..+Bns+npZ- (5) C(Z-1)=Co+CiZ-1+..+CncnpZ-+) C0=P0=P0 由此可以得到一个辅助系统（见附录A): A(Z-1)(k)=Z-dB(Z1)u(k)+C(Z~1)E(k) (6) 为得出由性能指标(2)式取极小值所确定的最优控制律，需要先求出辅助输出的最 优d步向前预报值°(k+d|k),这一预报值是(k),(k-1),yu(k),u(k一1)，… 79其中 ， 是 维输 出向量 ， 是 维输入控制 向量 ， 为 保证 输 出可控性 条件 ， 限制 《 ， 并要求 一 ‘ ， 一 ‘ 左 互质 毛息 为 维具 有 零 均 值 和 协 方 差 陈 的 独 立 同分布随机 向量序列 一 ‘ 为单位时 间延迟 算子 ， 即 一 ’ 一 一 为 系 统 的 纯 滞 后 时 间 系数多项式 阵 一 ， ， 一 ， 。 妙 。 ， 一 ‘ 。 粼 ， ‘ 一 … 十 一 ” 一 一 一 … 、 一 “ “ 一 一 … 一 ” 要求 。 是行满 秩的 ， “ ‘ 的根在 平 面的 单位 圆内 。 给 定的性能指标 为 一 ‘ 一 一 ‘ 名 ‘ 一 廿 其中 是 维 参考信号 向量 ， 且 可以是 时变的 · 表示 取数学期望 加 权 多 项 式 矩 阵 一 ， 一 任 火 〔 一 〕 产 一 〔 〔 一 〕 一 一 … ， 一 ” 一 一 二 一 … ， 一 ’ 一 ‘ 产。 ‘ 一 一 、 … 。 一 吸 要 求 一 ‘ 稳定 ， 。 非奇异 。 定义辅助 系统输 出 吵 些 一 引入 多项式矩阵变换 一 一 一 一 一 二 一 一 … 一 ‘ 一 ‘ 一 ， 并满 足 人 一 ‘ 一 ‘ ， 入。 二 。 由多项式矩阵的伪交换定理“ ‘ ，可知 ， 瓜 一 ， 民“ 一 ， 。 瑟厂 。 是存在 的 ， 但是并不唯一 。 由于兀。 一 ， ， 所以有，。 。 ， 一 一 二 一 十 ‘ ” · 一 ” 一 … 、 ， 一 ” 、 十 ” 护， 一 … ， 一 “ 十 ” 由此 可以得到 一个辅助 系统 见附录 ， 一 ‘ 砂 一 百一 一 ‘ 吸 一 ‘ 乙 为得 出由性能指标 式取极小值所确 定 的最优 控制 律 ， 需要先求 出辅助 输 出 的 最 优 步 向前 预 报值砂 ， 这一 预报值是 砂 ， 吵 一 ， …， ， 一