A=Ad=40) 证明当d=4≠0，(3)可知，A可逆，且 反过来，如果A可逆，那么有使 A=E 两边取行列式，得 144=E=1 因而A≠0，即A非退化 根据定理3容易看出，对于n级方阵A,B,如果 AB=E, 那么AB就都是可逆的并且它们互为逆矩阵 定理3不但给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式（④.按这个公式来求逆矩阵，计 算量一般是非常大的在以后我们将给出另一种求法 由(5)可以看出，如果A=d≠0，那么 =d. 推论如果矩阵A,B可逆，那么A与AB均可逆且 (4)=(4). (AB)=B-A-. 证明由定理即得推论的前一半，现在来证后一半由 A4小=A=E 两边取转置，有 (AA=A(A-)=E=E 因之 (A=(A1 的 (AB)(B-A-)=(B-A-XAB)=E.1 1 A A d A ( 0). d −  = =  证明 当 d A =  0,由(3)可知, A 可逆,且 1 1 A A . d −  = (4) 反过来,如果 A 可逆,那么有 1 A − 使 1 AA E − = 两边取行列式,得 1 A A E 1, − = = (5) 因而 A  0 ,即 A 非退化. 根据定理 3 容易看出,对于 n 级方阵 A B, ,如果 AB E = , 那么 A B, 就都是可逆的并且它们互为逆矩阵. 定理 3 不但给出了一矩阵可逆的条件,同时也给出了求逆矩阵的公式(4).按这个公式来求逆矩阵,计 算量一般是非常大的.在以后我们将给出另一种求法. 由(5)可以看出,如果 A d =  0,那么 1 1 A d − − = . 推论 如果矩阵 A B, 可逆,那么 A 与 AB 均可逆且 1 1 ( ) ( ) A A − −   = , 1 1 1 ( ) AB B A − − − = . 证明 由定理即得推论的前一半,现在来证后一半.由 1 1 AA A A E − − = = 两边取转置,有 1 1 ( ) ( ) A A A A E E − −      = = = 因之 1 1 ( ) ( ) A A − −   = 由 1 1 1 1 ( )( ) ( )( ) AB B A B A AB E − − − − = =