多 (AB)=B-A-I 利用矩阵的逆，可以给出克兰姆法则的另一种推导法线性方程组 a+az3+.+anxn=b aa+a=b aa+a23t.+amn=b 可以写成(2例2) AX=B (60 如果A≠0，那么可逆用 X=B 代入(6)，得恒等式A(A厂B)=B,这就是说B是一个解. 如果X=C是(6的一个解，那么由AC=B得 A'(AC)=AΓB C=AB. 这就是说，解X=A厂B是唯一的.用A厂的公式(4)代入，乘出来就是克兰姆法则中给出的公式。 联系到可逆矩阵，关于矩阵乘积的秩有 定理4A是一个矩阵5×n,如果P是5×3可逆矩阵，Q是n×n可逆矩阵，那么 秩(A)=秩(PA)=秩(AQ) 证明令B=PA,由定理2 秩(B)≤秩A: 但是由A=P~B,又有 秩(A)≤秩B 所以 秩(A)=秩(B)=秩(PA) 另一个等式可以同样地证明. 作业：P205,习题14,19 即得 1 1 1 ( ) AB B A − − − = . 利用矩阵的逆,可以给出克兰姆法则的另一种推导法.线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = 可以写成(§2 例 2) AX B = (6) 如果 A  0 ,那么可逆.用 1 X A B− = 代入(6),得恒等式 1 A A B B ( ) − = ,这就是说 1 A B− 是一个解. 如果 X C= 是(6)的一个解,那么由 AC B = 得 1 1 A AC A B ( ) − − = , 即 1 C A B− = . 这就是说,解 1 X A B− = 是唯一的.用 1 A − 的公式(4)代入,乘出来就是克兰姆法则中给出的公式. 联系到可逆矩阵,关于矩阵乘积的秩有 定理 4 A 是一个矩阵 s n ,如果 P 是 s s  可逆矩阵, Q 是 n n 可逆矩阵,那么 秩 ( ) A = 秩 ( ) PA = 秩 ( ) AQ 证明 令 B PA = ,由定理 2 秩 ( ) B  秩 A ; 但是由 1 A P B− = ,又有 秩 ( ) A  秩 B ; 所以 秩 ( ) A = 秩 ( ) B = 秩 ( ) PA . 另一个等式可以同样地证明. 作业: P205,习题 14,19