《线性代数》第六章习题解答 123-9）123-9 -111-8→034-17 032-13(00-24 3 得B=(a1a2a)y2=(a1a2a)-3=3a1-3a-2a；。 （-2 3.下列阶方阵的集合，关于矩阵的加法和数乘矩阵两种运算是否构成线性空间 (1)n阶对称矩阵全体所成之集合S。 (2)n阶可逆矩阵全体所成之集合R: (3)主对角线上各元素之和等于零的阶矩阵全体所成之集合T。 解.(1)S构成线性空间。因为女A,B,C∈S,λ，u∈R, A+B∈S. AAES 且满足1°，A+B=B+A 2°(A+B)+CA+(BC) 3°零元素为0，满足0+A=A 4°负元素为-A,使A+(-A)=0 5°1A=A 6°X(uA)=(Xμ)A 7°X(A+B)=AA+AB 8°（入+μ）A=λA+μA (2)R不构成线性空间，因为若A∈R,但0A=0不可逆，即R关于数乘法不封闭。 (3)T构成线性空间，因为T关于加法和数乘法封闭，并且满足8°性质。 4.下列集合对指定的运算是否构成实数域上的线性空间？ (1)设X,是n阶方阵A的特征值，A对应于,的特征向量所成之集合，关于向量的加法利 数乘向量两种运算： (2)微分方程y“+3y+3y+y=0的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种 运算： (3)微分方程y+3y+3y+y=5的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种 运算： (4)R中与向量(0,0,1)'不平行的全体向量所成之集合，关于中向量的线性运算。 解.(1)不构成线性空间，因为此集合不含零向量： (2)构成线性空间，由齐次线性微分方程解的性质得证 (3)不构成线性空间，由非齐次线性微分方程解的性质得证： (4)不构成线性空间，关于向量的加法和数乘向量两种运算不封闭。 5.检验以下集合对于所给的运算是否是实数域R上的线性空间。 令S={(a,b)a,b∈R},对于运算： (a,b)(c,d)=(atc,b+d+ac) ko (a,b)=(ka,kb+g) -2 《线性代数》第六章习题解答 -2- =           − − − − 0 3 2 13 1 1 1 8 1 2 3 9 →           − − − 0 0 2 4 0 3 4 17 1 2 3 9 得β= ( ) 1  2 3           3 2 1 y y y = ( ) 1  2 3           − − 2 3 3 =3α1-3α2-2α3 。 3.下列 n 阶方阵的集合，关于矩阵的加法和数乘矩阵两种运算是否构成线性空间？ （1）n 阶对称矩阵全体所成之集合 S； （2）n 阶可逆矩阵全体所成之集合 R； （3）主对角线上各元素之和等于零的 n 阶矩阵全体所成之集合 T。 解.（1）S 构成线性空间。因为  A，B，C∈S，λ，μ∈R ， A+B∈S， λA∈S 且满足 1°.A+B=B+A 2°（A+B）+C=A+（B+C） 3° 零元素为 0，满足 0+A=A 4°负元素为-A，使 A+（-A）=0 5°1A=A 6°λ（μA）=（λμ）A 7°λ（A+B）=ΛA+ΛB 8°（λ+μ）A=λA+μA （2）R 不构成线性空间，因为若 A∈R，但 0A=O 不可逆，即 R 关于数乘法不封闭。 （3）T 构成线性空间，因为 T 关于加法和数乘法封闭，并且满足 8°性质。 4．下列集合对指定的运算是否构成实数域上的线性空间？ （1） 设λ0 是 n 阶方阵 A 的特征值，A 对应于λ0 的特征向量所成之集合，关于向量的加法和 数乘向量两种运算； （2） 微分方程 3 3 0 ''' '' ' y + y + y + y = 的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种 运算； （3） 微分方程 3 3 5 ''' '' ' y + y + y + y = 的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种 运算； （4） R 3 中与向量（0，0，1） T 不平行的全体向量所成之集合，关于 R 3 中向量的线性运算。 解. （1）不构成线性空间，因为此集合不含零向量； （2）构成线性空间，由齐次线性微分方程解的性质得证； （3）不构成线性空间，由非齐次线性微分方程解的性质得证； （4）不构成线性空间，关于向量的加法和数乘向量两种运算不封闭。 5．检验以下集合对于所给的运算是否是实数域 R 上的线性空间。 令 S={（a，b）|a，b∈R}，对于运算： （a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d+ac） k  （a，b）=（ka，kb+ 2 2 ( 1) a k k− ）