《线性代数》第六章习题解答 解。显然集合S对于上述两种运算是封闭的，并且加法运算显然满足交换律，结合律，零元素 为(0,0)，对于任意元素(a,b)的负元素为(-a,-b+a)。对于数乘的4条运算规律易验证也成 立。所以ς构成一人电性空间」 6求实数域R上的全体2阶对称（反对称，上三角，下三角）矩阵所成的线性空间的一个基和维数。 解。全体2阶对称矩阵的线性空间的一组基为 6889ed 其维数为3： 全体2阶上三角矩阵的线性空间的一组基为 68e 其维数为3： 全体2阶下三角矩阵的线性空间的一组基为 10.(00.00 000110 其维数为3。 (100 7.设A001 求线性空间S(B)=B∈xAB=O0)的一个基和维数。 000 (000 解.设B=(b)则AB=-0时，B=b1bb 所以S的一个基为 (000 000(000)000 100,010,001,其维数为3。 000000000 8.在R中，求向量a=(3,7,1)'关于基a=(1,3,5), a=(6,3,2),a=(3,1,0)'的坐标 x 解.设a=aa凸a)x2 (x3 16331633 A=a1aa3a3317→01172 (5201001154《线性代数》第六章习题解答 -3- 解。显然集合 S 对于上述两种运算是封闭的，并且加法运算显然满足交换律，结合律，零元素 为（0，0），对于任意元素（a，b）的负元素为（-a，-b+a2）。对于数乘的 4 条运算规律易验证也成 立。所以 S 构成一个线性空间。 6．求实数域 R 上的全体 2 阶对称（反对称，上三角，下三角）矩阵所成的线性空间的一个基和维数。 解.全体 2 阶对称矩阵的线性空间的一组基为         0 0 1 0 ，         0 1 0 0 ，         1 0 0 1 其维数为 3； 全体 2 阶反对称矩阵的线性空间的一组基为         −1 0 0 1 其维数为 1； 全体 2 阶上三角矩阵的线性空间的一组基为         0 0 1 0 ，         0 1 0 0 ，         0 0 0 1 其维数为 3； 全体 2 阶下三角矩阵的线性空间的一组基为         0 0 1 0 ，         0 1 0 0 ，         1 0 0 0 其维数为 3。 7．设 A=           0 0 0 0 0 1 1 0 0 ，求线性空间 S（B）={B∈M3×3|AB=0}的一个基和维数。 解.设 B=（bij）则 AB=0 时，B=           0 0 0 0 0 0 b21 b22 b23 ，所以 S 的一个基为           0 0 0 1 0 0 0 0 0 ，           0 0 0 0 1 0 0 0 0 ，           0 0 0 0 0 1 0 0 0 ，其维数为 3。 8． 在 R 3 中，求向量α=（3，7，1）T 关于基α1=（1，3，5）T， α2=（6，3，2）T，α3=（3，1，0）T 的坐标 解.设α= ( ) 1  2 3           3 2 1 x x x ， A = (    ) 1 2 3 =           5 2 0 1 3 3 1 7 1 6 3 3           → 0 0 1 154 0 1 1 72 1 6 3 3