(-∞,-1) (-1,3) (3+∞) 0 f(x) 30极小值 极大值f(-1)=10,极小值f(3)=-22 f(x)=x3-3x2-9x+5图形如下 定理3(第二充分条件)设f(x)在x处具有二阶导数,且∫(x0)=0 f(x0)≠0,那末 (1)当f(x0)<0时,函数f(x)在x0处取得极大值 (2)当∫(x0)>0时,函数f(x)在x处取得极小值 证:(1)∵∫"(x)=mf(x0+△x)-f(x)∠0, 故f(x0+△x)-f(x)与△x异号, 当Ax<O时,有f(x0+△x)>f(x0)=0 当Ax>0时,有f(x0+△x)<f(x)=0 所以,函数f(x)在x处取得极大值 例2求出函数f(x)=x3+3x2-24x-20的极值 解:f(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2)4 极大值 f (−1) =10, 极小值 f (3) = −22. ( ) 3 9 5 3 2 f x = x − x − x + 图形如下 定 理 3( 第二充分条件 ) 设 f (x) 在 0 x 处具有二阶导数 , 且 ( 0 ) 0 ' f x = , ( 0 ) 0 '' f x  , 那末 (1)当 ( 0 ) 0 '' f x  时, 函数 f (x) 在 0 x 处取得极大值; (2)当 ( 0 ) 0 '' f x  时, 函数 f (x) 在 0 x 处取得极小值. 证: (1) x f x x f x f x x   +  −   =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0  0  0, 故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x  0时， ( ) ( ) 0 0 有f  x + x  f  x =0 当x  0时， ( ) ( ) 0 0 有f  x + x  f  x =0 所以,函数 f (x) 在 0 x 处取得极大值 例 2 ( ) 3 24 20 . 求出函数 f x = x 3 + x 2 − x − 的极值 解: ( ) 3 6 24 2 f  x = x + x − = 3(x + 4)(x − 2) x (−,−1) −1 (−1,3) 3 (3,+) f (x) f (x) + − +  0 0   极 大 值 极 小 值