《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 而 fr[o(x)b(x)d=(Jf(u)du) (1) 综上所述，可得如下结论 定理8.4：（第一换元积分法）设四是连续函数，F(四是四的一个原函数。又若 “=()连续可微，并且复合运算/儿(]有意义，则 f[o(x)b(x)dx=(f(u)du)=F[o(x)]+c 2) 第一换元积分公式(2)说明如果一个不定积分∫8（达的被积表达式8）本能够写成 [(】]()本的形式，可通过变量代换“=p()把被积表达式等同于四血，若不定积分 f(u)du=F(u)+c 容易求得，那么再将“=（四代入F(四，便求出原不定积分 ∫g(x)k=F[p(x]+C 由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式8()本变为 了[(]()本=f[p(]do()的形式。也就是把被积函数8四分解成两个因子的乘积，其 中一个因子与本凑成某一函数()的微分，而另一因子是()的函数[（刃，且经过这样 的微分变形后被积表达式[(]40（四变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积 分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练 习，不断总结经验，才能运用自如。 凑徽分法1：far+b)d=二far+b)d(cx+b)=f)du 例1、利期-2(+)(a6eRa0,求下列积分 05x=j6x+4号a(6x+),令u=3x+4有 6*=d=+c=+c 再将u=3x+4代入，有《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 2 而 ( ) ( ) ( ( ) ) u x( ) f x x dx f u du   =    =     （1） 综上所述，可得如下结论 定理 8.4：（第一换元积分法） 设 f u( ) 是连续函数， F u( ) 是 f u( ) 的一个原函数。又若 u x = ( ) 连续可微，并且复合运算 f x    ( )   有意义，则 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) u x f x x dx f u du F x C    =      = = +       （ 2） 第一换元积分公式（2）说明如果一个不定积分 g x dx ( )  的被积表达式 g x dx ( ) 能够写成 f x x dx     ( ) ( )   的形式，可通过变量代换 u x = ( ) 把被积表达式等同于 f u du ( ) ，若不定积分 f u du F u C ( ) = + ( )  容易求得，那么再将 u x = ( ) 代入 F u( ) ，便求出原不定积分 g x dx F x C ( ) = +    ( )    由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式 g x dx ( ) 变为 f x x dx f x d x         ( ) ( ) = ( ) ( )     的形式。也就是把被积函数 g x( ) 分解成两个因子的乘积，其 中一个因子与 dx 凑成某一函数  ( x) 的微分，而另一因子是  ( x) 的函数 f x    ( )   ，且经过这样 的微分变形后被积表达式 f x d x     ( ) ( )   变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积 分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练 习，不断总结经验，才能运用自如。 凑微分法 1： ( ) . 1 ( ) ( ) 1 ( ) f u du a f ax b d ax b a f ax + b dx = + + = 例１、利用 ( ) ( ) 1 dx d ax b a b R a , , 0 a = +   ，求下列积分 ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 1 3 4 3 4 3 4 3 x dx x d x + = + +   ，令 u x = + 3 4 有 1 4 4 3 3 3 3 1 1 3 1 3 4 3 3 4 4 x dx u du u C u C + = =  + = +   再将 u x = + 3 4 代入，有