于是,当园<1时,/(a)=C(常数)。但是,1(O)=0,故C=0,从而/(a)=0 三讨论题(每小题10分,共20分) 1解设a0为任一不为零的数,不妨设ao>0。取δ>0,使a0-6>0。下面证明 积分l在(a-o,a0+)内一致收敛。事实上,当a∈(a0-δ,a+)时,由于 6 +a x +(a0-8) 且积分 -dx 1+(an-6 收敛,故由 Weierstrass判别法知积分 rx 在(a0-5,a0+o)内一致收敛,从而在ao点一致收敛。由a0的任意性知积分I在每一 个a≠0处一致收敛 下面说明积分/在a=0非一致收敛。事实上,对原点的任何邻域(-,δ)有 VA>0,有 -dx (a>0) 由于 故取0<E<,在(-6,δ)中必存在某一个a0>0,使有 卜>E 1+ 因此,积分在a=0点的任何邻域(-6,δ)内非一致收敛,从而积分/在a=0时非 致收敛 2.解当y≠0时,被积函数是连续的。因此,F(y)为连续函数。 当y=0时,显然有F(0)=0。 当y>0时,设m为f(x)在[O,1上的最小值,则m>0。由于5 于是，当 a 1 时， I(a) = C （常数）。但是， I(0) = 0 ，故 C = 0 ，从而 I(a) = 0 。 三 讨论题（每小题 10 分，共 20 分） 1 解 设 0 a 为任一不为零的数，不妨设 a0  0 。取   0 ，使 a0 −  0 。下面证明 积分 I 在 ( , ) a0 − a0 + 内一致收敛。事实上，当 a( , ) a0 − a0 + 时，由于 2 2 1 0 a x a +  2 2 0 0 1 (a ) x a   + − +  ， 且积分 dx a x a  + + − + 0 2 2 0 0 1 (  )  收敛，故由 Weierstrass 判别法知积分 dx a x a  + 0 + 2 2 1 在 ( , ) a0 − a0 + 内一致收敛，从而在 0 a 点一致收敛。由 0 a 的任意性知积分 I 在每一 个 a  0 处一致收敛。 下面说明积分 I 在 a = 0 非一致收敛。事实上，对原点的任何邻域 (− , ) 有： A  0 ，有 ( 0) 1 1 2 0 2 2  + = +   + + a t dt dx a x a aA 。 由于   + + →+ = + = + 0 2 2 0 1 1 2 lim  t dt t dt a aA ， 故取 2 0     ，在 (− , ) 中必存在某一个 a0  0 ，使有   +  + | 1 | 2 aA t dt ， 即   +  + | 1 | 2 2 0 0 A a x a dx 因此，积分 I 在 a = 0 点的任何邻域 (− , ) 内非一致收敛，从而积分 I 在 a = 0 时非一 致收敛。 2．解 当 y  0 时，被积函数是连续的。因此， F( y) 为连续函数。 当 y = 0 时，显然有 F(0) = 0 。 当 y  0 时，设 m 为 f (x) 在 [0,1] 上的最小值，则 m  0 。由于