的齐次线性方程组的通解加上该非齐次线性方程组的一个特解。 推论46.3设A是m×n矩阵,则非齐次线性方程组 dx= b 当rank(A)=rank(A:b)时有解。此时,当rank(A4)=n时只有唯一解;当 rank(A)<n时有无穷多组解 实际求解的过程与齐次线性方程组的情况相仿,只是多求一步特解而已。设 nk(A}b)=rank(A)=r,并设 将原方程组Ax=b转化为同解方程组 a1x1+a12x2+…+a1x+a1n+x+1+…+anxn=b1, a2x2+…+a2,x1+a21x,++…+a2nxn=b2 (4.6.7) la,tar22 +…+ax+a-r+1xr++…+ arnt b 将其改写为 +aix,=6, a21x1+a2x2+…+a2x=b2-a2x+1-…-a2nxn +ax2+…+a,,x=b-a, 利用前面的记号,并记b b,便得到 b A1x1=b1-A12x2 令b=0,就得到类似(4.64)的齐次线性方程组的一组基础解系 为求特解,可令x2=0,得到非齐次线性方程组的一个特解 A, b 0 从而得到非齐次线性方程组的通解 x=x+∑cx0(c是任意常数,i=1,2,…,n-r) 从以上推导中可以看出,在求方程Ax=b的解时,先用初等行变换将它的 增广矩阵 (A:b), 化为(必要时要交换列的位置,这时变量也要作相应交换,但常数列b不能与其 它列交换)的齐次线性方程组的通解加上该非齐次线性方程组的一个特解。 推论 4.6.3 设 A 是 mn 矩阵，则非齐次线性方程组 Ax  b 当 rank(A)  rank ( A ┆b)时有解。此时，当 rank(A)  n 时只有唯一解；当 rank(A)  n 时有无穷多组解。 实际求解的过程与齐次线性方程组的情况相仿，只是多求一步特解而已。设 rank ( A ┆b) = rank ( A ) = r，并设 0 1 2 21 22 2 11 12 1  r r rr r r a a a a a a a a a       。 将原方程组 Ax  b 转化为同解方程组                                   , , , 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r n n r r r r r n n r r r r n n a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b        （4.6.7） 将其改写为                                   , , , 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x        利用前面的记号，并记                br b b  2 1 b1 ，便得到 A11x1  b1 12 2  A x ， 令 b1  0，就得到类似（4.6.4）的齐次线性方程组的一组基础解系 (1) x ， (2) x ， „， (nr) x 。 为求特解，可令 x2  0，得到非齐次线性方程组的一个特解           0 1 1 11 0 A b x 。 从而得到非齐次线性方程组的通解      n r i i c 1 x x0 (i) x （ i c 是任意常数， i 1, 2,  , n  r ）。 从以上推导中可以看出，在求方程 Ax  b 的解时，先用初等行变换将它的 增广矩阵 ( A ┆b)， 化为（必要时要交换列的位置，这时变量也要作相应交换，但常数列 b 不能与其 它列交换）