a =」 P(x,y) e(x,y) 即Ox 同理 (3)→(4)若aa(x,y)=2ax+gy,往证2y= ,P2,Q apap a aQ ax@,Ox@ox,由2,Q具有连续的一阶偏导数 aay adx 故O=a (4)→(1)设C为D内任一闭曲线,D为C所围成的区域Pa+p2 )dxdy 例2.曲线积分 「(o”+xk+(a2-2),乙为过(00,(0D和(2)点的圆弧 日 解:令P=gy+x,Q 则a 与路径无关 取积分路径为OA+AB +Ody Pdx +eay (1+x)dx+(e'-2yay_e 例2.计算 压x ,(1)c为以(0,0)为心的任何圆周 (2)c为以任何不含原点的闭曲线 解:(1)令 (x2+y2)2 (x2+y2)2 ∴在除去(0,0)处的所有点处有=ax,做以0为圆心,r 为半径作足够小的圆使小圆含在C内 。+Pax+ 日 Pdx +edy 2丌≠0 ap aQ (2)∵=ax Pdx+Ody 三、二元函数的全微分求积 Pdx pay 与路径无关,则2ax+息ab为某一函数的全微分为即 ， 同理 . （3） （4）若 = ，往证 = ， ， ， ， 由 具有连续的一阶偏导数 故 = （4） （1）设 为 内任一闭曲线， 为 所围成的区域. = = . 例2．曲线积分 ， 为过 ， 和 点的圆弧. 解： 令 ， ，则 ， ∴ 与路径无关.         取积分路径为 . + = = 例2． 计算 ， （1） 为以 为心的任何圆周. （2） 为以任何不含原点的闭曲线. 解：（1）令 ， ， ， ， ∴在除去 处的所有点处有 = ，做以0为圆心， 为半径作足够小的圆使小圆含在 内，∴ = ，即 =     （2）∵ = ∴ 0 三、二元函数的全微分求积 ∵ 与路径无关，则 为某一函数的全微分为