解r12+(2-y)d十(+x)=5 +2(x-2),即y=2x-1 )2(x+y)dx+(x-y)ay_ (1,1) [(x+2x-1)+2(1-x)]d 定理:设2P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内有连续的一阶偏导数,则以下四个条件相 互等价 1)内任一闭曲线C,Pak+b=0 (2)对内任一曲线L Pdx + pay 与路径无关 (3)在D内存在某一函数(x,y)使d(x,y)=x+在D内成立 (4) ax,在D内处处成立 证明:(1)→(2)在D内任取两点AB,及连接AB 的任意两条曲线ABB,AG C=AGB+BGA为D内一闭曲线 由(1)知 Pdx pay 即J2ax+ ody + Pdx+pdy=0 Pdx +Ody r Pdx+edy (2)→(3)若Px+20在D内与路径无关当起点固定在(xy)点,终点为 (x,y)后,则 Pdx + Ody 是x,y的函数,记为(x,y) 下证:a(x,y)=ka Pdx + pdy 的全微分为a(x,y)=Fax+gy a Mox y) F(x,y),Q(x,y)连续,只需证ax P(x,y) Kx+dx, y) e(x,y) Monja a(x+△x) 由定义Ox dx gay (x,y)+ Pdx+Oa (x,y) (x+△x)-(x)-F2x-P△x,P=Px+x,y)(0≤8≤D解： = 3 ： ,即 = 定理：设 ， 在单连通区域 内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相 互等价 （1）内任一闭曲线 ， = . （2）对内任一曲线 ， 与路径无关 （3）在 内存在某一函数 使 在 内成立. （4） ，在 内处处成立. 证明：（1） （2） 在 内任取两点 ，及连接 的任意两条曲线 ， ∴ 为 内一闭曲线    由（1）知 ， 即 + = ∴ = （2） （3）若 在 内与路径无关.当起点固定在（ ）点，终点为 后，则 是 的函数，记为 . 下证： = 的全微分为 = . ∵ ， 连 续 ， 只 需 证 ，         ，     由定义 = + = + ∴ = =