M 对于y-型区域,同理可证⑩ dxdy t edx ∴原式成立 对于一般情况,可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域,在D1,D2,D3,D4上应 用格林公式相加,由于沿辅助线积分是相互抵消,即可得证. 几何应用,在格林公式中,取P=-y,Q=x 2‖1axd+xdy 说明:1)格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立 0 2)记法方多2-1b 3)在一定条件下用二重积分计算曲线积分,在另外条件下用曲线积分计算二重 积分 4)几何应用 例1计算一+【x+L,(x-12+(-412=9 原式( a 例1.计算星形线y=asin°t围成图形面积(0≤t≤2x) A (a cos't 3a sin tcost +asin't 3a 37a 二平面上曲线积分与路径无关的条件 1)与路无关:是G为一开区域,F(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,若 G内任意指定两点A,B及G内从A到B的任意两条曲线1,L2 Pdx+ gdy=L Pdx+gdy 恒成立,则称 Px+Qy在G内与路径无关否 则与路径有关 (x+y)dx +(x-y)dy 1:从(1)到(2,3的折线 L2从(1)到(2,3的直线对于 -型区域，同理可证 = ∴原式成立 对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在 上应 用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证. 几何应用，在格林公式中，取 ， =                           ∴ 说明：1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立 2）记法 = 3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重 积分. 4）几何应用. 例1． 计算 ： 解： 原式= ， ， 例1． 计算星形线 围成图形面积 = 二 平面上曲线积分与路径无关的条件 1） 与路无关：是 为一开区域， 在 内具有一阶连续偏导数，若 内任意指定两点 及 内从 到 的任意两条曲线 恒成立，则称 在 内与路径无关.否 则与路径有关. 例1． ：从 到 的折线 从 到 的直线