奥赛园地(第6期解答) 1.如果二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称p,q为此函数的特征数,如函数y=x2+ 2x+3的特征数是[2,3 (1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标; (2)探究下列问题: ①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位,求得到的图象对应的 函数的特征数 ②若一个函数的特征数为[2,3],问此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为3,4]? 解:(1)由题意可得出 ∴.此函数图象的顶点坐标为:(1,0); (2)①由题意可得出:y=x2+4x-1=(x+2)2-5, ∴将此函数的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到:y=(x+2-1)2-5+1=(x+1)2-4=x2+2x-3 ∴图象对应的函数的特征数为:[2,-3] ②∵一个函数的特征数为[2,3 ∴函数解析式为:y=x2+2x+3=(x+1)2+2, ∵一个函数的特征数为[3,4] 函数解析式为:y=x+3x+4=(x+2)2+4 原函数的图象向左平移个单位,再向下平移个单位可得到新函数的图象 2.自主学习 请阅读下列解题过程 解一元二次不等式:x2-5x>0. 解:设x2-5x=0,解得:x1=0,x2=5,则抛物线y=x2-5x与x轴的交点坐标为(0,0)和(5,0). 画出二次函数y=x2-5x的大致图象(如图所示) 由图象可知:当x<0或x>5时函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2-5x>0 所以,一元二次不等式x2-5x>0的解集为:x<0或x>5 通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题: (1)上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的 (只填序号) ①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想 (2)一元二次不等式x2-5x<0的解集为 (3)用类似的方法解一元二次不等式:x2-2x-3>0 解:(1)①,③ (2)0<x<5 【解法提示】由题中的解题过程及题图可知:当0<x<5时,二次函数y=x2-5x的图象位于x轴下方,此时y<0,即 1x2-5x<0,∴一元二次不等式x2-5x<0的解集为:0<x<5 y=x-2x-3 第2题解图 (3)设x2-2x-3=0,解得x=3,x2=-1 则抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点坐标为(3,0)和(-1,0) 画出二次函数y=x2-2x-3的大致图象如解图 由图象可知:当x<-1或x3时函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2-2x-3>0奥赛园地（第 6 期解答） 1. 如果二次函数的二次项系数为 1，则此二次函数可表示为 y＝x 2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数 y＝x 2＋ 2x＋3 的特征数是[2，3]． (1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标； (2)探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，求得到的图象对应的 函数的特征数； ②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]? 解：（1）由题意可得出：y＝x 2－2x＋1＝(x－1) 2， ∴此函数图象的顶点坐标为：(1，0)； （2）①由题意可得出：y＝x 2＋4x－1＝(x＋2) 2－5， ∴将此函数的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到：y＝(x＋2－1) 2－5＋1＝(x＋1) 2－4＝x 2＋2x－3， ∴图象对应的函数的特征数为：[2，－3]； ②∵一个函数的特征数为[2，3]， ∴函数解析式为：y＝x 2＋2x＋3＝(x＋1) 2＋2， ∵一个函数的特征数为[3，4]， ∴函数解析式为：y＝x 2＋3x＋4＝(x＋ 3 2 ) 2＋ 7 4 ， ∴原函数的图象向左平移1 2 个单位，再向下平移1 4 个单位可得到新函数的图象． 2. 自主学习 请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：x 2－5x＞0. 解：设 x 2－5x＝0，解得：x1＝0，x2＝5，则抛物线 y＝x 2－5x 与 x 轴的交点坐标为(0，0)和(5，0)． 画出二次函数 y＝x 2－5x 的大致图象(如图所示)． 由图象可知：当 x＜0 或 x＞5 时函数图象位于 x 轴上方，此时 y＞0，即 x 2－5x＞0， 所以，一元二次不等式 x 2－5x＞0 的解集为：x＜0 或 x＞5. 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的________和________；(只填序号) ①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想 (2)一元二次不等式 x 2－5x＜0 的解集为________； (3)用类似的方法解一元二次不等式：x 2－2x－3＞0. 解：（1）①，③； （2）0＜x＜5； 【解法提示】由题中的解题过程及题图可知：当 0＜x＜5 时，二次函数 y＝x 2－5x 的图象位于 x 轴下方，此时 y＜0，即 x 2－5x＜0，∴一元二次不等式 x 2－5x＜0 的解集为：0＜x＜5. 第 2 题解图 （3）设 x 2－2x－3＝0，解得 x1＝3，x2＝－1. 则抛物线 y＝x 2－2x－3 与 x 轴的交点坐标为(3，0)和(－1，0)． 画出二次函数 y＝x 2－2x－3 的大致图象如解图． 由图象可知：当 x<－1 或 x>3 时函数图象位于 x 轴上方，此时 y>0，即 x 2－2x－3>0. ∴一元二次不等式 x 2－2x－3>0 的解集为 x<－1 或 x>3