第2期 吕智颖，等：一种带有属性偏好的模糊多属性决策方法 ·229. 2)c:>g,当且仅当对k∈T都有c>G。 由于IR4-R。I>t-1,有：当R>R。时， 定义5设c,为C中的一个属性，则有： R'a>R'g;当R<R,时，R'a<R'g0 1)如果存在c:∈C,使得c。≤c:成立，则称c, 以上2个定理表明在属性的优劣排序中，找到 为C中的劣属性； 了C中最优的属性后，下一个最优属性是剩余属性 2)如果不存在c:∈C,使得c,≤c:成立，则称c, 中的最优属性。定理1表明如果c:(i∈M)在C中 为C中的非劣属性： 的优先度指数最大，它就是最优属性。 3)如果对Hc:∈C,都有c:≤c。,则称c,为C 专家们形成的群体决策应尽量接近于每一个专 中的优属性； 家的偏好效用或意见，给专家赋权时，由不同的专家 4)如果对Hc:∈C(i≠p),都有c:<c。,则称 给出的判断矩阵越接近，表明专家的意见越一致。 c。为C中的最优属性。 因此可以采用互补判断矩阵间的相似性度量来决定 从上述的定义可以得到： 专家的权重。 引理1： 定义6设P.和P.为专家e.和e.给出的关于 1)如果c,为C中的优属性，则有R,=mxR: 属性偏好的互补判断矩阵，其中e.,e,∈E,定义2 2)设c,c,∈C,如果c,≤cp,则有①rm<Tm 个互补判断矩阵的相似接近度为 ②R,<R,; 3)令c,为C中的一个属性，如果R。=四xR, Ip-pg s(P.,P）= 则c,为C中的一个非劣属性。 定理1设c,心，eC,如果尼，=5，R,则 (1) c,为C=C\{c}中的非劣属性。 从而可以构造相似性矩阵S为 证明假设c,不是C'中的非劣属性，则存在 [1s12 c4∈C',使得c,≤c4。因此由引理1中2)知R,< R,这与R,1,R矛盾，定理1得证。 S= s21 1 定理2设c,ca,c,∈C,R,=maxR,这里R 1对名m sn 是c的优先度指数。如果IR。-R,I>t-1,则ca 式中：sn=s(P。,P),如果u=v,则有sm=1。专家 和c。的序关系在C'=C\c。中是不变的。 e。的平均相似接近度为 证明因为R,=xR,由引理1中3)知c,为 C中的一个非劣属性。 Ae) (2) 现证明对j∈M,均有。≤t-1。假设不成 通过A(en)来确定专家e.的权重为 立，则存在c。∈C,使得rw=1或者w=t-1/2。因 A(e.) 此对VkE7,都有么≥)且存在，∈T使得 入.= (3) ∑A(e) = 如=1。从而对k∈T,都有c≤统且存在k。∈ 设P:=(p)mm(keT)为专家e给出的关于 T,使得c<c0成立。故由定义4，有c,≤c0。再 属性集C的互补判断矩阵，根据定义1可以得出专 由引理1中的2)有R,<R。与R=四xR矛盾。 家e:给出的属性的优劣顺序。由定义2判断P是 又由于，≥0，对C中任意的属性c,和c,有 否具有可接受一致性，如果P:不具有可接受一致 1-t≤rp-Tp≤t-1 性，必须进行相应的调整，否则无法判断属性的优 相应地， 劣。如果P具有可接受一致性，当考虑到专家的权 R's-R'=(R-Tp)-(R-T)= 重时，可将属性c:优于c,的优先度指数定义为 (R6-R,）+（Tp-Tp） 式中：Ra和R',分别是ca和c,在C'=C\{c,}中的 ,含 优先度指数。 从而得出属性c:在C中的优先度指数R:,即２） ｃｉ ＞ ｃｊ 当且仅当对 ∀ｋ ∈ Ｔ 都有 ｃ ｋ ｉ ＞ ｃ ｋ ｊ 。 定义 ５ 设 ｃｐ 为 Ｃ 中的一个属性，则有： １）如果存在 ｃｉ ∈ Ｃ， 使得 ｃｐ ≤ ｃｉ 成立，则称 ｃｐ 为 Ｃ 中的劣属性； ２）如果不存在 ｃｉ ∈Ｃ， 使得 ｃｐ ≤ｃｉ 成立，则称 ｃｐ 为 Ｃ 中的非劣属性； ３）如果对 ∀ｃｉ ∈ Ｃ， 都有 ｃｉ ≤ ｃｐ， 则称 ｃｐ 为 Ｃ 中的优属性； ４）如果对 ∀ｃｉ ∈ Ｃ （ｉ ≠ ｐ）， 都有 ｃｉ ＜ ｃｐ， 则称 ｃｐ 为 Ｃ 中的最优属性。 从上述的定义可以得到： 引理 １： １）如果 ｃｐ 为 Ｃ 中的优属性，则有 Ｒｐ ＝ ｍａｘ １≤ｊ≤ｍ Ｒｊ； ２）设 ｃｐ，ｃｑ ∈ Ｃ， 如果 ｃｑ ≤ ｃｐ， 则有① ｒｑｑ ＜ ｒｐｑ； ② Ｒｑ ＜ Ｒｐ； ３）令 ｃｐ 为 Ｃ 中的一个属性，如果 Ｒｐ ＝ ｍａｘ １≤ｊ≤ｍ Ｒｊ， 则 ｃｐ 为 Ｃ 中的一个非劣属性。 定理 １ 设 ｃｐ，ｃｑ ∈ Ｃ， 如果 Ｒｑ ＝ ｍａｘ １≤ｊ≤ｍ，ｊ≠ｐ Ｒｊ， 则 ｃｑ 为 Ｃ′ ＝ Ｃ ＼｛ｃｐ｝ 中的非劣属性。 证明 假设 ｃｑ 不是 Ｃ′ 中的非劣属性，则存在 ｃｋ ∈Ｃ′， 使得 ｃｑ ≤ ｃｋ 。 因此由引理 １ 中 ２）知 Ｒｑ ＜ Ｒｋ， 这与 Ｒｑ ＝ ｍａｘ １≤ｊ≤ｍ，ｊ≠ｐ Ｒｊ 矛盾，定理 １ 得证。 定理 ２ 设 ｃｐ，ｃｈ ，ｃｑ ∈ Ｃ， Ｒｐ ＝ ｍａｘ １≤ｊ≤ｍ Ｒｊ， 这里 Ｒｊ 是 ｃｊ 的优先度指数。 如果 ｜ Ｒｈ － Ｒｑ ｜ ＞ ｔ － １， 则 ｃｈ 和 ｃｑ 的序关系在 Ｃ′ ＝ Ｃ ＼ｃｐ 中是不变的。 证明 因为 Ｒｐ ＝ ｍａｘ １≤ｊ≤ｍ Ｒｊ ，由引理 １ 中 ３）知 ｃｐ 为 Ｃ 中的一个非劣属性。 现证明对 ∀ｊ ∈ Ｍ， 均有 ｒｊｐ ≤ ｔ － １。 假设不成 立，则存在 ｃｊ０ ∈Ｃ， 使得 ｒｊ０ ｐ ＝ ｔ 或者 ｒｊ０ ｐ ＝ ｔ － １ ／ ２。 因 此对 ∀ｋ ∈ Ｔ， 都有 ｒ ｋ ｊ０ ｐ ≥ １ ２ 且存在 ｋ０ ∈ Ｔ， 使得 ｒ ｋ０ ｊ０ ｐ ＝１。 从而对 ∀ｋ ∈ Ｔ， 都有 ｃ ｋ ｐ ≤ ｃ ｋ ｊ０ 且存在 ｋ０ ∈ Ｔ， 使得 ｃ ｋ０ ｐ ＜ ｃ ｋ０ ｊ０ 成立。 故由定义 ４，有 ｃｐ ≤ ｃｊ０ 。 再 由引理 １ 中的 ２）有 Ｒｐ ＜ Ｒｊ０ 与 Ｒｐ ＝ ｍａｘ １≤ｊ≤ｍ Ｒｊ 矛盾。 又由于 ｒｊｐ ≥ ０， 对 Ｃ 中任意的属性 ｃｈ 和 ｃｑ， 有 １ － ｔ ≤ ｒｈｐ － ｒｑｐ ≤ ｔ － １ 相应地， Ｒ′ｈ － Ｒ′ｑ ＝ （Ｒｈ － ｒｈｐ） － （Ｒｑ － ｒｑｐ） ＝ （Ｒｈ － Ｒｑ） ＋ （ｒｑｐ － ｒｈｐ） 式中： Ｒ′ｈ 和 Ｒ′ｑ 分别是 ｃｈ 和 ｃｑ 在 Ｃ′ ＝ Ｃ ＼｛ｃｐ｝ 中的 优先度指数。 由于 ｜ Ｒｈ － Ｒｑ ｜ ＞ ｔ － １， 有：当 Ｒｈ ＞ Ｒｑ 时， Ｒ′ｈ ＞ Ｒ′ｑ； 当 Ｒｈ ＜ Ｒｑ 时， Ｒ′ｈ ＜ Ｒ′ｑ。 以上 ２ 个定理表明在属性的优劣排序中，找到 了 Ｃ 中最优的属性后，下一个最优属性是剩余属性 中的最优属性。 定理 １ 表明如果 ｃｉ （ｉ ∈ Ｍ） 在 Ｃ 中 的优先度指数最大，它就是最优属性。 专家们形成的群体决策应尽量接近于每一个专 家的偏好效用或意见，给专家赋权时，由不同的专家 给出的判断矩阵越接近，表明专家的意见越一致。 因此可以采用互补判断矩阵间的相似性度量来决定 专家的权重。 定义 ６ 设 Ｐｕ 和 Ｐｖ 为专家 ｅｕ 和 ｅｖ 给出的关于 属性偏好的互补判断矩阵，其中 ｅｕ ，ｅｖ ∈ Ｅ， 定义 ２ 个互补判断矩阵的相似接近度为 ｓ（Ｐｕ ，Ｐｖ） ＝ ∑ ｍ ｊ ＝ １ ∑ ｍ ｉ ＝ １ （ｐ ｕ ｉｊ ＋ ｐ ｖ ｉｊ） － ∑ ｍ ｊ ＝ １ ∑ ｍ ｉ ＝ １ ｜ ｐ ｕ ｉｊ － ｐ ｖ ｉｊ ｜ ∑ ｍ ｊ ＝ １ ∑ ｍ ｉ ＝ １ （ｐ ｕ ｉｊ ＋ ｐ ｖ ｉｊ） ＋ ∑ ｍ ｊ ＝ １ ∑ ｍ ｉ ＝ １ ｜ ｐ ｕ ｉｊ － ｐ ｖ ｉｊ ｜ （１） 从而可以构造相似性矩阵 Ｓ 为 Ｓ ＝ １ ｓ１２ … ｓ１ｔ ｓ２１ １ … ｓ２ｔ ︙ ︙ ︙ ｓｔ１ ｓｔ２ … １ é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú 式中： ｓｕｖ ＝ ｓ（Ｐｕ ，Ｐｖ）， 如果 ｕ ＝ ｖ， 则有 ｓｕｖ ＝ １。 专家 ｅｕ 的平均相似接近度为 Ａ（ｅｕ ） ＝ １ ｔ － １∑ｔ ｓｕｖ （２） 通过 Ａ（ｅｕ ） 来确定专家 ｅｕ 的权重为 λｕ ＝ Ａ（ｅｕ ） ∑ ｔ ｕ ＝ １ Ａ（ｅｕ ） （３） 设 Ｐｋ ＝ （ｐ ｋ ｉｊ） ｍ×ｍ （ｋ ∈ Ｔ） 为专家 ｅｋ 给出的关于 属性集 Ｃ 的互补判断矩阵，根据定义 １ 可以得出专 家 ｅｋ 给出的属性的优劣顺序。 由定义 ２ 判断 Ｐｋ 是 否具有可接受一致性，如果 Ｐｋ 不具有可接受一致 性，必须进行相应的调整，否则无法判断属性的优 劣。 如果 Ｐｋ 具有可接受一致性，当考虑到专家的权 重时，可将属性 ｃｉ 优于 ｃｊ 的优先度指数定义为 ｒｉｊ ＝ ∑ ｔ ｋ ＝ １ λｋ ｒ ｋ ｉｊ 从而得出属性 ｃｉ 在 Ｃ 中的优先度指数 Ｒｉ， 即 第 ２ 期 吕智颖，等：一种带有属性偏好的模糊多属性决策方法 ·２２９·