了文献〔4幻中所建立的单元矩阵。经实际计算表明：这种方法可以用于求解各种变截面类型 的Timoshenko梁。 1单元刚度矩阵 引入符号、 1一单元长度； y一梁的挠度， 的=y/1 中一由弯矩引起的梁的斜度， '一梁的总斜率，即的导数： 中'一的导数。 设单元两端的节点分别为和，其状态关量为中，中。，'，，种，中，：，中)r 对于截面积为A()截面惯性矩为I()的变截面梁，梁单元的弹性势能为： U=子Ej()(映）dx+}GA)(-）x (1) 式中E一材料的弹性模量，G一剪切弹性模量，k一截面剪切系数，将式中的x用无量纲变 量”=x/1代替，则(1)式变为： U冬手w()+子c1了4)（聘-） (2) 把种和中分别展开成的三次多项式，按照传统的有限元方法可以确定出： 中(7)=(1-372+273)中，+(（7-22+刀3)'，+(3n2-273)中，(-n2+73)',(3) 和中(7)=(1-3n2+2初3)：+（n-2n2+n3)中：+(3)2-273)中，+(-72+73)'，(4) 如果横截面积和截面惯性矩作为的函数为已知，那末式(2)原则上可以写成： U=日{s}'cK{5} (5) 其中{}为状态矢量[的，中，，'：，中'：，单， 中，'，中'，了”，单元刚度矩阵[K]的每一个元 素都是(2)式中相应的积分。 例如图1所示的截面为正方形，边长按线 性规律变化且两端截面高度为1：2的梁单元。 4。 其截面积函数为A(n)=A,(1+n)2,截面惯 性矩函数为I(n)=A(1+7)‘/12,把这两个 函数及式(3)、(4)代入(2)经计算，并设G/E= 3/8,K=2/3,1=20,A。=4,得到的刚度矩阵 图1有限元慎型 是： Fig.1 A typical finite clement 390了文献〔4〕中所建立的单 元矩阵 。 经实际计算表明 : 这种方法可以用于求解各种变截面 类 型 的 T i m o s h e n k o 梁 。 1 单元刚度矩阵 引入符号 、 l一单元长度 ; 功一 由弯矩 引起的梁的斜度 , 诱 尹 一诱的导数 。 设单元两 端的 节点分 别为 i和j , 对于截面积为 A ` 二 ) 截面惯性矩为I ` : , y 一梁的挠度 , 护二 y l ; 叻 ` 一梁的 总斜率 , 即护的导数; 其状态矢量为〔护 ` , 必 . , 护“ , 劝“ ` 护 , , 必 , , 护丁 , 功二〕 丁 的变截面 梁 , 梁单元的弹性势能为 : ` , U = 合 E爹 I ( · ) (鲁 ) ’ d 二 + 十 “可 A ( 二 ) (斋 一 , : )二 X O O ( 1 ) 式 中 E一材料的弹性模量 , G 一剪 切弹性模量 , k 一截面剪 切系数 , 将式 中的 x 用 无量 纲 变 量 , 二 “ / I代替 , 则 ( 1) 式变为 : _ t i : U 二 令郡 I ` , , (兴) ` , + 于 ` G` I A`。 , (爵 一 ` ) ` , O 0 ( 2 ) 把尹和必分别展开 成刀的 三次多项式 , 按照传统的 有限元方法可以确定出 : ` l 声 ó 八 」、尸 O 了几`矛、 任月 护(们 = 和 拟们 = ( 1 一 3 , “ + 2 , “ )价 , + ( 甲一 2 , “ + 刀“ )叻“ + ( 3 , : 一 2 , 3 )价 , ( 一 刀“ + , 3 ) 价 ` , ( 1 一 3 , 2 + 2 , “ )毋 , + ( , 一 2 , “ + , 。 )功 , 。 + ( 3 , 名 一 2 , 3 ) 价 , + ( 一 口“ + 叮 3 ) 价 ` , 如果横截面积和截面惯性矩作为 , 的 函数为已知 , 那末式 ( 2) 原 则上可以 写成 : ( 5 ) y I E 、 , 宁 r 尸 。 , 亏 , U = 专子 } 亡 { 〔们 { ` 其 中 {二}为状态矢 量 砷 , , 价 , , 劝 , ` , 价 产 ` , 护 , , 价 , , 护 产 , , 价 尹 , 〕 r , 单元 刚度矩阵〔K 〕的每一个元 素都是 (幻 式中相应的积分 。 例如图 1 所示的截面为正方形 , 边长按线 性规 律变化且两 端截面高度为 :1 2 的梁单元 。 禹 其截面积函数为 A ( 功 二 A 。 ( 1 + 灯) 2 , 截 面 惯 性矩函 数为 I (们 二 A 盆l( + 功 ` / 12 , 把这两 个 函数及 式 ( 3) 、 ( 4) 代入 (2 ) 经计算 , 并设 G 了E 二 , 3 / 8 , K 二 2 / 3 , l = 20 , A 。 = 4 , 得到的 刚度矩阵 是 : ~ 、 、 、 刁 卜一一月 F 19 图 1 A 有限元模型 y P i e a l f i n i t c c l e m e n t 粉