章军辉等：基于快速SR-UKF的锂离子动力电池SOC联合估计 979. 3.30 通过图3映射关系可以为电池组提供一个相 对准确的SOC初值，同时也可以对长时间静置后 V, Stand still 的电池进行SOC初值校正.标定完$OC初值后， 3.25 再通过安时积分计量法例来在线估算电池SOC 而实际上由于安时积分计量法属于一种开环估计 Discharge 方法，当SOC初值标定不准的情况下，估计曲线始 3.20 start Discharge stop 终是无法收敛于真实轨迹 对于这一问题，接下来通过无迹卡尔曼滤波 对安时积分计量法的估计值进行实时修正，以改 3.15 0 5 10 152025 30 3540 Sampling points 善开环估算的效果.此外，考虑到电池老化、环境 温度等扰动因素的影响，在工程实施时，宜拟合出 图2一个脉冲放电周期内单体端电压响应曲线 Fig.2 Dynamic curve of U in a pulse-periodic discharge 多份OCV-SOC曲线 程中的动态特性： 3电池状态估计 (1)在放电开始时刻，由于欧姆内阻上产生的 3.1电池S0C估计算法 压降，导致端电压瞬间抖降，随后由于给等效电容 UKF滤波的核心是UT变换，即通过确定性采 进行充电，端电压呈准指数函数下降； 样构造Sigma点集来近似系统非线性函数的概率 (2)在放电结束时刻，由于欧姆内阻上的压降 密度分布进而求解非线性滤波问题.不过，传统UKF 消失，导致端电压瞬间抖升，随后由于等效电容放 算法在更新状态协方差时存在减法运算，不能保 电使得端电压进一步缓慢上升，最终趋于稳定，其 证协方差矩阵的非负定性，存在滤波发散的隐患. 中，2-V1表示端电压相对快速的变化过程，V3 为此，本文给出一种快速SR-UKF估计方法： ?表示端电压相对缓慢的变化过程 在UKF滤波过程中，使用状态误差协方差矩阵的 2.1模型参数 平方根进行迭代运算，以避免协方差矩阵负定而 通过图2所示的“浅放-静置”的恒流脉冲放 致滤波结果发散的缺陷：为了降低UKF的计 电试验，对二阶RC网络模型参数进行辨识，模型 算开销，在UT变换时对观测方程进行准线性化处 参数初值见表1 理，建立开路电压与电池$OC的映射表，通过查表 表1基于二阶RC网络的模型参数 方法来减少对观测方程的数值计算 Table 1 Parameters of 2-order RC model 3.1.1定义 R/mo R/m R/m O(A-h) C/F C/F 定义1.QR分解 5.9 2.0 38 29.3 36000 68400 若存在正定矩阵Qmxm与上三角矩阵Rmx,使 2.2 OCV-S0C曲线 得Ama=2mxm Rmxn,则称之为A的QR分解，且记 在上述实验条件下，采用开路电压法©拟合 R=qr(A). 出静置稳定后的开路电压与电池$OC之间的映射 定义2.Cholesky因子 关系曲线，如图3所示 由定义1知，AT的QR分解，即AT=OR,若矩 阵P=AAT,有P=RTOTOR=RTR则称为P的 3.4 Cholesky因子，记为R=chol{P 3.3 定义3.Cholesky因子的一阶更新 3.2 由定义2知，若已知p的Cholesky因子为R,则 称P±vuuT的Cholesky因子为的一阶更新，记 3.0 为R=cholupdate{R,u,±v 2.9 3.1.2SR-UKF算法 2.8 算法设计如下： 0102030405060708090100 SOC/% (1)UT变换 图3开路电压与SOC的关系曲线 a)构造2W+1维Sigma点集 Fig.3 Relationship between open circuit voltage and SOC 利用随机向量的均值与协方差平方根来构造程中的动态特性： （1）在放电开始时刻，由于欧姆内阻上产生的 压降，导致端电压瞬间抖降，随后由于给等效电容 进行充电，端电压呈准指数函数下降； （2）在放电结束时刻，由于欧姆内阻上的压降 消失，导致端电压瞬间抖升，随后由于等效电容放 电使得端电压进一步缓慢上升，最终趋于稳定，其 中 ， V2 -V1 表示端电压相对快速的变化过程 ， V3 - V2 表示端电压相对缓慢的变化过程. 2.1    模型参数 通过图 2 所示的“浅放−静置”的恒流脉冲放 电试验，对二阶 RC 网络模型参数进行辨识，模型 参数初值见表 1. 表 1 基于二阶 RC 网络的模型参数 Table 1   Parameters of 2nd-order RC model Re /mΩ Rs /mΩ Rl /mΩ Q0 /(A·h) Cs /F Cl /F 5.9 2.0 3.8 29.3 36000 68400 2.2    OCV–SOC 曲线 在上述实验条件下，采用开路电压法[10] 拟合 出静置稳定后的开路电压与电池 SOC 之间的映射 关系曲线，如图 3 所示. SOC/% 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 OCV/V 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 图 3    开路电压与 SOC 的关系曲线 Fig.3    Relationship between open circuit voltage and SOC 通过图 3 映射关系可以为电池组提供一个相 对准确的 SOC 初值，同时也可以对长时间静置后 的电池进行 SOC 初值校正. 标定完 SOC 初值后， 再通过安时积分计量法[9] 来在线估算电池 SOC. 而实际上由于安时积分计量法属于一种开环估计 方法，当 SOC 初值标定不准的情况下，估计曲线始 终是无法收敛于真实轨迹. 对于这一问题，接下来通过无迹卡尔曼滤波 对安时积分计量法的估计值进行实时修正，以改 善开环估算的效果. 此外，考虑到电池老化、环境 温度等扰动因素的影响，在工程实施时，宜拟合出 多份 OCV–SOC 曲线. 3    电池状态估计 3.1    电池 SOC 估计算法 UKF 滤波的核心是 UT 变换，即通过确定性采 样构造 Sigma 点集来近似系统非线性函数的概率 密度分布进而求解非线性滤波问题. 不过，传统 UKF 算法在更新状态协方差时存在减法运算，不能保 证协方差矩阵的非负定性，存在滤波发散的隐患. 为此，本文给出一种快速 SR-UKF 估计方法： 在 UKF 滤波过程中，使用状态误差协方差矩阵的 平方根进行迭代运算，以避免协方差矩阵负定而 致滤波结果发散的缺陷[19−21] ；为了降低 UKF 的计 算开销，在 UT 变换时对观测方程进行准线性化处 理，建立开路电压与电池 SOC 的映射表，通过查表 方法来减少对观测方程的数值计算. 3.1.1    定义 定义 1. QR 分解 Qm×m Rm×n Am×n = Qm×mRm×n R = qr{A} 若存在正定矩阵 与上三角矩阵 ，使 得 ，则称之为 A 的 QR 分解，且记 . 定义 2. Cholesky 因子 A T A T = Q˜R˜ P = AAT P = R˜ TQ˜ TQ˜R˜ = R˜ TR˜ R˜ P R˜ = chol{P} 由定义 1 知， 的 QR 分解，即 ，若矩 阵 ， 有 ， 则 称 为 的 Cholesky 因子，记为 . 定义 3. Cholesky 因子的一阶更新 P R˜ P± √ vuuT R˜ R˜ = cholupdate { R˜,u,±v } 由定义 2 知，若已知 的 Cholesky 因子为 ，则 称 的 Cholesky 因子为 的一阶更新，记 为 . 3.1.2    SR-UKF 算法 算法设计如下： （1）UT 变换. a）构造 2N+1 维 Sigma 点集 利用随机向量的均值与协方差平方根来构造 Sampling points 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Uo/V 3.15 3.20 3.25 3.30 V1 V2 V3 Discharge start Discharge stop Stand still 图 2    一个脉冲放电周期内单体端电压响应曲线 Fig.2    Dynamic curve of Uo in a pulse-periodic discharge 章军辉等： 基于快速 SR-UKF 的锂离子动力电池 SOC 联合估计 · 979 ·