基于快速SR-UKF的锂离子动力电池SOC联合估计

针对标准无迹卡尔曼滤波(Unscented Kalman filter, UKF) 算法本身存在着因状态误差协方差矩阵无法实现Cholesky分解而导致滤波发散的隐患，以及在电池状态估计过程中由离线标定的电池等效模型参数而造成的累积误差的问题，本文发展了一种平方根无迹卡尔曼滤波(Square-root unscented Kalman filter, SR-UKF)算法，并设计了一种电池状态联合估计策略。首先快速SR-UKF算法通过对观测方程进行准线性化处理，降低了每次无迹变换时的计算开销；然后在迭代过程中，用状态误差协方差矩阵的平方根代替状态误差协方差矩阵，该平方根是由QR分解与 Cholesky因子的一阶更新得到，解决了UKF 算法迭代过程中可能由计算累积误差引起状态误差协方差矩阵负定而导致滤波结果发散的问题，保证了电池荷电状态(State of charge，SOC)在线滚动估计的数值稳定性；最后采用联合估计策略，对电池等效模型参数进行实时辨识，保证了电池等效模型的准确性与有效性，从而提高了电池SOC的估计精度。仿真对比结果验证了快速SR-UKF算法以及电池状态联合估计策略的可行性与鲁棒性。

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工程科学学报.第43卷.第7期：976-984.2021年7月 Chinese Journal of Engineering,Vol.43,No.7:976-984,July 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.07.30.002;http://cje.ustb.edu.cn 基于快速SR-UKF的锂离子动力电池SOC联合估计章军辉23,4，李庆2，，陈大鹏2,3，赵野) 1)中国科学院微电子研究所，北京1000292)江苏物联网研究发展中心，无锡2141353)无锡物联网创新中心有限公司.无锡214135 4)昆山微电子技术研究院，昆山215347 ☒通信作者.E-mail:zhangjunhui@ime.ac.cn 摘要针对标准无迹卡尔曼滤波(Unscented Kalman filter,.UKF)算法本身存在着因状态误差协方差矩阵无法实现 Cholesky分解而导致滤波发散的隐患，以及在电池状态估计过程中由离线标定的电池等效模型参数而造成的累积误差的问题，本文发展了一种平方根无迹卡尔曼滤波(Square--root unscented Kalman filter,SR-UKF)算法，并设计了一种电池状态联合估计策略.首先快速SR-UKF算法通过对观测方程进行准线性化处理，降低了每次无迹变换时的计算开销：然后在迭代过程中，用状态误差协方差矩阵的平方根代替状态误差协方差矩阵，该平方根是由QR分解与Cholesky因子的一阶更新得到，解决了 UKF算法迭代过程中可能由计算累积误差引起状态误差协方差矩阵负定而导致滤波结果发散的问题.保证了电池荷电状态 (State of charge,SOC)在线滚动估计的数值稳定性；最后采用联合估计策略，对电池等效模型参数进行实时辨识，保证了电池等效模型的准确性与有效性，从而提高了电池SOC的估计精度.仿真对比结果验证了快速S-UKF算法以及电池状态联合估计策略的可行性与鲁棒性关键词荷电状态：健康状态：平方根无迹卡尔曼滤波：联合估计：锂离子动力电池分类号TM912.9 Real-time SOC co-estimation algorithm for Li-ion batteries based on fast square-root unscented Kalman filters ZHANG Jun-hui2,LI Qing2,CHEN Da-peng234),ZHAO Ye 1)Institute of Microelectronics of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100029,China 2)Jiangsu R&D Center for Internet of Things,Wuxi 214135,China 3)Wuxi Internet of Things Innovation Center Co.,Ltd.,Wuxi 214135,China 4)Institute of Microelectronic Technology of Kunshan,Kunshan 215347,China Corresponding author,E-mail:zhangjunhui@ime.ac.cn ABSTRACT The Li-ion battery is an important energy source for electric vehicles(EVs),and the accurate estimation of the battery power state provides a reliable reference for balancing the battery packing and battery management system (BMS).It also has great practical significance for making full and reasonable utilization of batteries,and improving the battery life cycle and vehicle operation efficiency.Practical issues that must be addressed include the filtering divergence caused by the non-positive definite error covariance matrix in the standard unscented Kalman filter (UKF)and the state estimation errors that accumulate from the simplified mathematical modeling of the Li-ion battery,with its inherently strong non-linearity,time variation,and uncertainty.To resolve these issues,in this article,a real-time state co-estimation algorithm was proposed based on a fast square-root unscented Kalman filter (SR-UKF) framework.First,during the iteration process,the non-linear measurement function,which describes the propagation of each sigma 收稿日期：2020-07-30 基金项目：江苏省博士后科研计划资助项目(2020Z411):国家重点研发计划“新能源汽车专项”资助项目(2016YFB0100516)

基于快速 SR-UKF 的锂离子动力电池 SOC 联合估计章军辉1,2,3,4) 苣，李庆1,2,4)，陈大鹏1,2,3,4)，赵野1) 1) 中国科学院微电子研究所，北京 100029 2) 江苏物联网研究发展中心，无锡 214135 3) 无锡物联网创新中心有限公司，无锡 214135 4) 昆山微电子技术研究院，昆山 215347 苣通信作者，E-mail：zhangjunhui@ime.ac.cn 摘要针对标准无迹卡尔曼滤波 (Unscented Kalman filter, UKF) 算法本身存在着因状态误差协方差矩阵无法实现 Cholesky 分解而导致滤波发散的隐患，以及在电池状态估计过程中由离线标定的电池等效模型参数而造成的累积误差的问题，本文发展了一种平方根无迹卡尔曼滤波 (Square-root unscented Kalman filter, SR-UKF) 算法，并设计了一种电池状态联合估计策略. 首先快速 SR-UKF 算法通过对观测方程进行准线性化处理，降低了每次无迹变换时的计算开销；然后在迭代过程中，用状态误差协方差矩阵的平方根代替状态误差协方差矩阵，该平方根是由 QR 分解与 Cholesky 因子的一阶更新得到，解决了 UKF 算法迭代过程中可能由计算累积误差引起状态误差协方差矩阵负定而导致滤波结果发散的问题，保证了电池荷电状态 (State of charge，SOC) 在线滚动估计的数值稳定性；最后采用联合估计策略，对电池等效模型参数进行实时辨识，保证了电池等效模型的准确性与有效性，从而提高了电池 SOC 的估计精度. 仿真对比结果验证了快速 SR-UKF 算法以及电池状态联合估计策略的可行性与鲁棒性. 关键词荷电状态；健康状态；平方根无迹卡尔曼滤波；联合估计；锂离子动力电池分类号 TM912.9 Real-time SOC co-estimation algorithm for Li-ion batteries based on fast square-root unscented Kalman filters ZHANG Jun-hui1,2,3,4) 苣，LI Qing1,2,4) ，CHEN Da-peng1,2,3,4) ，ZHAO Ye1) 1) Institute of Microelectronics of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029, China 2) Jiangsu R&D Center for Internet of Things, Wuxi 214135, China 3) Wuxi Internet of Things Innovation Center Co., Ltd., Wuxi 214135, China 4) Institute of Microelectronic Technology of Kunshan, Kunshan 215347, China 苣 Corresponding author, E-mail: zhangjunhui@ime.ac.cn ABSTRACT The Li-ion battery is an important energy source for electric vehicles (EVs), and the accurate estimation of the battery power state provides a reliable reference for balancing the battery packing and battery management system (BMS). It also has great practical significance for making full and reasonable utilization of batteries, and improving the battery life cycle and vehicle operation efficiency. Practical issues that must be addressed include the filtering divergence caused by the non-positive definite error covariance matrix in the standard unscented Kalman filter (UKF) and the state estimation errors that accumulate from the simplified mathematical modeling of the Li-ion battery, with its inherently strong non-linearity, time variation, and uncertainty. To resolve these issues, in this article, a real-time state co-estimation algorithm was proposed based on a fast square-root unscented Kalman filter (SR-UKF) framework. First, during the iteration process, the non-linear measurement function, which describes the propagation of each sigma 收稿日期: 2020−07−30 基金项目: 江苏省博士后科研计划资助项目（2020Z411）；国家重点研发计划“新能源汽车专项”资助项目（2016YFB0100516）工程科学学报，第 43 卷，第 7 期：976−984，2021 年 7 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 43, No. 7: 976−984, July 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.07.30.002; http://cje.ustb.edu.cn

章军辉等：基于快速SR-UKF的锂离子动力电池SOC联合估计 977· point,is called by an unscented transform.A reduction in computational complexity can be achieved if the non-linear measurement function is quasi-linearized.Second,instead of a state error covariance matrix,the square root of the state error covariance matrix is used,which is obtained by QR decomposition and first-order updating of the Cholesky factor.This step deals with the problem that arises if the state error covariance matrix is negative definite due to the computational errors accumulated while performing recursive estimation with the standard UKF.This guarantees the numerical stability of the battery's estimated state of charge (SOC)in real time. Third,the inner ohmic resistance and nominal capacity that indirectly characterize the state of health can be estimated online,and a highly precise SOC estimation can be realized due to the accuracy and efficiency of the battery model.Comparative experimental results confirm and validate the feasibility and robustness of the proposed fast SR-UKF algorithm and co-estimation strategy. KEY WORDS state of charge;state of health;square-root unscented Kalman filter;co-estimation strategy;Li-ion battery 锂离子动力电池是新能源电动汽车的重要供来逼近非线性系统的后验概率密度分布，相对能来源，而电池生产工艺上的波动、材质本身的不 EKF来说，其估计精度有明显改善，不过UKF无均匀性，使得单体电池的容量、内阻、自放电特性法保证滤波过程中状态误差协方差矩阵的非负定等皆有一定的差异，并且随着充放电循环次数的性，存在滤波发散的隐患，同时其估计精度也一定增加以及车内特殊工作环境的影响，电池容量也程度上受限于电池等效模型的准确性.(5)粒子滤会出现不同程度的衰减，进一步加剧了单体之间波(Particle filter,.PF)法，通过大量随机粒子来逼的差异性，准确的电池状态估计为电池成组、电近非线性系统的后验概率密度分布，对于强非线池管理系统(Battery management system,BMS)均衡性、非高斯系统具有潜在应用价值，不过P℉存在等用途提供可靠参考依据，从而对单体电池的充粒子退化、重采样导致的样本贫化、计算负荷严分合理利用、电池组使用寿命的延长以及整车运重等问题.(6)神经网络法⑧，通过神经网络学习的行效率的改善具有重要实际意义-) 方法建立未知系统的非线性映射关系，无需准确电池状态估计本身属于非线性估计问题，而的数学建模、非线性近似工作，可适用于各类电池针对非线性问题求解，常用手段包括非线性函数的状态估计，不过其估计精度对数据集的依赖性局部线性化-、概率密度分布逼近法-6、神经网较强络法-副等.其中，非线性函数局部线性化的主要目前，电池健康状态(State of health,SOH估方法有Taylor展开法)、插值多项式法，概率密计方法主要概括为2大类：(1)基于特征的预测，度分布逼近的主要方法有确定性样本逼近法)、通过建立容量、内阻等特征参数与电池寿命之间大量粒子逼近法阿的对应关系，间接地对电池的老化程度进行预测目前，电池荷电状态(State of charge,SOC)估如内阻法，然而对于毫欧级的内阻来说，其量测计方法主要有：（I)安时积分计量(Ampere-hour 难度较大；电化学阻抗谱(Electrochemical impedance counting,AH)法9，应用较广，不过算法本身缺少 spectroscopy,EIS)法I6,需专用仪器，常用于实验室对内外在扰动因素进行补偿的措施，存在由分析.(2)基于数据驱动的预测，不需要对象系统 $OC初值标定偏差而导致曲线始终不能收敛、计的机理知识，利用测试数据挖掘出描述电池性能算累积误差等问题；(2)开路电压(Open circuit 演变的潜在规律，进而对电池使用寿命进行预测 voltage,.OCV)法o-,通过“浅放-静置”的方法拟如支持向量机(Support vector machine,SVMI刃、粒合出OCV与SOC一一映射曲线，实现对SOC初子滤波、神经网络图等，该类方法通常由于实验值进行离线校正，其因需较长的静置时间而无法数据的有限性、不确定性，而致使其在工程应用上用于在线工况，一般是与其他方法结合使用：(3)扩存在着一定的局限性展卡尔曼滤波(Extended Kalman filter,.EKF)法]，针对标准UKF算法本身存在着因状态误差协仅利用Taylor展开式中的一阶偏导项对非线性函方差矩阵无法实现Cholesky分解而导致滤波发散数进行线性化处理，再基于标准卡尔曼(Kalman 的隐患，以及在电池状态估计过程中由离线标定 filter,.KF)框架完成状态估计，存在较低的截断精的电池等效模型参数而造成的累积误差的问题，度、Jacobian矩阵计算繁杂、滤波性能不稳定等问本文发展了一种基于快速SR-UKF的电池状态联题；（4)无迹卡尔曼滤波(Unscented Kalman filter, 合估计算法，首先构建二阶电池等效模型的状态 UKF)法吲，通过构造满足一定规则的确定性样本空间方程，其次在循环迭代过程中对观测方程进

point, is called by an unscented transform. A reduction in computational complexity can be achieved if the non-linear measurement function is quasi-linearized. Second, instead of a state error covariance matrix, the square root of the state error covariance matrix is used, which is obtained by QR decomposition and first-order updating of the Cholesky factor. This step deals with the problem that arises if the state error covariance matrix is negative definite due to the computational errors accumulated while performing recursive estimation with the standard UKF. This guarantees the numerical stability of the battery’s estimated state of charge (SOC) in real time. Third, the inner ohmic resistance and nominal capacity that indirectly characterize the state of health can be estimated online, and a highly precise SOC estimation can be realized due to the accuracy and efficiency of the battery model. Comparative experimental results confirm and validate the feasibility and robustness of the proposed fast SR-UKF algorithm and co-estimation strategy. KEY WORDS state of charge；state of health；square-root unscented Kalman filter；co-estimation strategy；Li-ion battery 锂离子动力电池是新能源电动汽车的重要供能来源，而电池生产工艺上的波动、材质本身的不均匀性，使得单体电池的容量、内阻、自放电特性等皆有一定的差异，并且随着充放电循环次数的增加以及车内特殊工作环境的影响，电池容量也会出现不同程度的衰减，进一步加剧了单体之间的差异性. 准确的电池状态估计为电池成组、电池管理系统 (Battery management system, BMS) 均衡等用途提供可靠参考依据，从而对单体电池的充分合理利用、电池组使用寿命的延长以及整车运行效率的改善具有重要实际意义[1−2] . 电池状态估计本身属于非线性估计问题，而针对非线性问题求解，常用手段包括非线性函数局部线性化[3−4]、概率密度分布逼近法[5−6]、神经网络法[7−8] 等. 其中，非线性函数局部线性化的主要方法有 Taylor 展开法[3]、插值多项式法[4] ；概率密度分布逼近的主要方法有确定性样本逼近法[5]、大量粒子逼近法[6] . 目前，电池荷电状态 (State of charge，SOC) 估计方法主要有：（ 1）安时积分计量 (Ampere-hour counting, AH) 法[9] ，应用较广，不过算法本身缺少对内外在扰动因素进行补偿的措施，存在由 SOC 初值标定偏差而导致曲线始终不能收敛、计算累积误差等问题；（ 2）开路电压 (Open circuit voltage, OCV) 法[10−11] ，通过“浅放–静置”的方法拟合出 OCV 与 SOC 一一映射曲线，实现对 SOC 初值进行离线校正，其因需较长的静置时间而无法用于在线工况，一般是与其他方法结合使用；（3）扩展卡尔曼滤波 (Extended Kalman filter, EKF) 法[12] ，仅利用 Taylor 展开式中的一阶偏导项对非线性函数进行线性化处理，再基于标准卡尔曼 (Kalman filter, KF) 框架完成状态估计，存在较低的截断精度、Jacobian 矩阵计算繁杂、滤波性能不稳定等问题；（ 4）无迹卡尔曼滤波 (Unscented Kalman filter, UKF) 法[13] ，通过构造满足一定规则的确定性样本来逼近非线性系统的后验概率密度分布，相对 EKF 来说，其估计精度有明显改善，不过 UKF 无法保证滤波过程中状态误差协方差矩阵的非负定性，存在滤波发散的隐患，同时其估计精度也一定程度上受限于电池等效模型的准确性. （5）粒子滤波 (Particle filter, PF) 法[14] ，通过大量随机粒子来逼近非线性系统的后验概率密度分布，对于强非线性、非高斯系统具有潜在应用价值，不过 PF 存在粒子退化、重采样导致的样本贫化、计算负荷严重等问题. （6）神经网络法[8] ，通过神经网络学习的方法建立未知系统的非线性映射关系，无需准确的数学建模、非线性近似工作，可适用于各类电池的状态估计，不过其估计精度对数据集的依赖性较强. 目前，电池健康状态 (State of health，SOH) 估计方法主要概括为 2 大类：（1）基于特征的预测，通过建立容量、内阻等特征参数与电池寿命之间的对应关系，间接地对电池的老化程度进行预测. 如内阻法[15] ，然而对于毫欧级的内阻来说，其量测难度较大；电化学阻抗谱 (Electrochemical impedance spectroscopy, EIS) 法[16] ，需专用仪器，常用于实验室分析. （2）基于数据驱动的预测，不需要对象系统的机理知识，利用测试数据挖掘出描述电池性能演变的潜在规律，进而对电池使用寿命进行预测. 如支持向量机 (Support vector machine, SVM)[17]、粒子滤波[14]、神经网络[8] 等，该类方法通常由于实验数据的有限性、不确定性，而致使其在工程应用上存在着一定的局限性. 针对标准 UKF 算法本身存在着因状态误差协方差矩阵无法实现 Cholesky 分解而导致滤波发散的隐患，以及在电池状态估计过程中由离线标定的电池等效模型参数而造成的累积误差的问题，本文发展了一种基于快速 SR-UKF 的电池状态联合估计算法，首先构建二阶电池等效模型的状态空间方程，其次在循环迭代过程中对观测方程进章军辉等：基于快速 SR-UKF 的锂离子动力电池 SOC 联合估计 · 977 ·

978 工程科学学报，第43卷，第7期行了准线性化处理，同时用状态误差协方差矩阵为状态向量的一步预测的离散状态空间方程：的平方根进行迭代运算，以防协方差矩阵负定而 x1(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+w(k) (5) 致滤波发散，接着设计了一种电池状态联合估计 y1(k)=Cx1(k)+Du(k)+v(k) 策略，对电池模型参数进行实时辨识，以确保电池式中，w()=[w1(,w2(,w3()T为过程噪声，为等效模型的准确性与有效性，最后对本文设计的观测噪声，(=I(),各系数矩阵满足快速SR-UKF算法以及联合估计策略进行了验证「1 0 0 与探讨. A= 0 e-Ts/ts 0 10 0 e-Ts/n 1数学建模 -nTs Co 锂离子动力电池的二阶RC等效模型，能够较 B= Rs(1-e-T,/rs) 好地模拟电池的静动态特性，结构复杂度相对适 I R(1-e-Ts/n) 中，便于电池特性分析，本文将采用二阶RC等效 1 模型建立电池状态空间方程. C=5西sW.-l- 二阶RC等效电路如图1所示，其中，E为电 D=-Re 池的电动势，其测量方法可通过长时间静置使得其中，T为采样周期，E:=fS()表示电池的平衡电池内部处于平衡状态，此时量测出电池的端电电动势E,与电池SOC之间的函数关系，该映射关压在数值上等于电池的平衡电动势，，为t时刻电系与环境温度、锂电池老化程度等因素有关.在池的放电电流，Re为电池的欧姆内阻，R、R为电池电池SOC状态空间模型中，欧姆内阻R、极化内的极化内阻，Cs、C为电池的极化电容，Ucs、U 阻R与R是事先已辨识的模型参数为电池极化内阻上产生的压降，U。,为t时刻电池 1.2电池S0H状态空间模型两端的观测电压锂电池的健康状态可通过电池的欧姆内阻 R来间接评估⑧根据图1所示的电池模型，把电池的荷电状态、极化电压当作已知值，作如下定义 Res+1 =Re!+r (6) E,=Re山，+Ues1+U+Uor+qr (7) 式中，，为过程噪声，9，为观测噪声图1锂离子动力电池的二阶RC等效模型令x2(k)=R(k),建立以x2(k)为状态变量的一步 Fig.1 order RC model of Li-ion battery 预测的离散状态空间方程： 1.1电池S0C状态空间模型 2(k+1k)=x2(k)+r）) (8) 根据图1所示的电池模型，作如下定义 y2()=Ex2()+F+qk) h=RVay+ar (1) 式中，各系数满足 Rs E=-1(k) 1 h=是Ueu+0au (2) F=fis(k))-Ucs(k)-Uc(k) R R E:Rel:+Ues.!+Uelr Uo. (3) 2参数辨识式中，s、T为时间常数，0表示U的微分本文实验对象是合肥国轩公司的一个电池电池荷电状态的安时积分计量法向定义为组，内含12串单体，每个单体标称容量为30Ah (4) 在25℃环境温度下，对该电池包进行“浅放-静置”的恒流脉冲放电试验：放电倍率为0.6C,放电式中，So为电池o时刻的荷电状态，即SOC初始电流恒为18A,单次放电时长为1min并静置30min, 值，Q0为电池的额定容量，为充放电效率重复该操作直至放完.一个脉冲放电周期内的单以x1()=[S(Ucs(k),U(kT作为状态向量，体端电压变化过程如图2所示，其中'、2、3表 y1()=Uo(k)作为系统输出，(K)作为控制输入，w()、示量测的端电压 vk)作为系统扰动，根据式(1)~(4)，建立以x1(k) 利用RC网络能够较好地描述电池的放电过

行了准线性化处理，同时用状态误差协方差矩阵的平方根进行迭代运算，以防协方差矩阵负定而致滤波发散，接着设计了一种电池状态联合估计策略，对电池模型参数进行实时辨识，以确保电池等效模型的准确性与有效性，最后对本文设计的快速 SR-UKF 算法以及联合估计策略进行了验证与探讨. 1 数学建模锂离子动力电池的二阶 RC 等效模型，能够较好地模拟电池的静动态特性，结构复杂度相对适中，便于电池特性分析，本文将采用二阶 RC 等效模型建立电池状态空间方程. Et It Re Rs Rl Cs Cl Ucs,t Ucl,t Uo,t 二阶 RC 等效电路如图 1 所示，其中，为电池的电动势，其测量方法可通过长时间静置使得电池内部处于平衡状态，此时量测出电池的端电压在数值上等于电池的平衡电动势，为 t 时刻电池的放电电流，为电池的欧姆内阻，、为电池的极化内阻，、为电池的极化电容，、为电池极化内阻上产生的压降，为 t 时刻电池两端的观测电压. Et Re Rs Cs It Rl Cl Uo, t Ucs, t Ucl, t + − + − + − 图 1 锂离子动力电池的二阶 RC 等效模型 Fig.1 2nd-order RC model of Li-ion battery 1.1 电池 SOC 状态空间模型根据图 1 所示的电池模型，作如下定义 It = 1 Rs Ucs,t + τs Rs U˙ cs,t （1） It = 1 Rl Ucl,t + τl Rl U˙ cl,t （2） Et = ReIt +Ucs,t +Ucl,t +Uo,t （3） τs τl 式中，、为时间常数， U˙ 表示 U 的微分. 电池荷电状态的安时积分计量法[6] 定义为 S t = S t0 − 1 Q0 w t t0 ηItdt （4） S t0 t0 Q0 η 式中，为电池时刻的荷电状态，即 SOC 初始值，为电池的额定容量，为充放电效率. x1(k) = [S (k), Ucs(k), Ucl(k)]T y1(k) = Uo(k) u(k) w(k) v(k) x1(k) 以作为状态向量，作为系统输出，作为控制输入，、作为系统扰动，根据式（1）～（4），建立以为状态向量的一步预测的离散状态空间方程： { x1(k+1|k) = Ax1(k)+ Bu(k)+w(k) y1(k) = Cx1(k)+ Du(k)+v(k) （5） w(k) = [w1(k), w2(k), w3(k)]T v(k) u(k) = I(k) 式中，为过程噪声，为观测噪声，，各系数矩阵满足 A =   1 0 0 0 e−Ts/τs 0 0 0 e−Ts/τl   B =   −ηTs Q0 Rs(1−e −Ts/τs ) Rl(1−e −Ts/τl)   C = [ 1 S (k) f{S (k)}, −1, −1 ] D = −Re Ts Et = f{S (k)} Et Re Rl Rs 其中，为采样周期，表示电池的平衡电动势与电池 SOC 之间的函数关系，该映射关系与环境温度、锂电池老化程度等因素有关. 在电池 SOC 状态空间模型中，欧姆内阻、极化内阻与是事先已辨识的模型参数. 1.2 电池 SOH 状态空间模型 Re 锂电池的健康状态可通过电池的欧姆内阻来间接评估[18] . 根据图 1 所示的电池模型，把电池的荷电状态、极化电压当作已知值，作如下定义 Re,t+1 = Re,t +rt （6） Et = Re,tIt +Ucs,t +Ucl,t +Uo,t +qt （7）式中，rt为过程噪声， qt为观测噪声. 令x2(k) = Re(k) ，建立以x2(k) 为状态变量的一步预测的离散状态空间方程： { x2(k+1|k) = x2(k)+r(k) y2(k) = Ex2(k)+ F +q(k) （8）式中，各系数满足 E = −I(k) F = f{S (k)} −Ucs(k)−Ucl(k) 2 参数辨识本文实验对象是合肥国轩公司的一个电池组，内含 12 串单体，每个单体标称容量为 30 A·h. 在 25 ℃ 环境温度下，对该电池包进行“浅放−静置”的恒流脉冲放电试验：放电倍率为 0.6 C，放电电流恒为 18 A，单次放电时长为 1 min 并静置 30 min，重复该操作直至放完. 一个脉冲放电周期内的单体端电压变化过程如图 2 所示，其中 V1、V2、V3 表示量测的端电压. 利用 RC 网络能够较好地描述电池的放电过 · 978 · 工程科学学报，第 43 卷，第 7 期

章军辉等：基于快速SR-UKF的锂离子动力电池SOC联合估计 979. 3.30 通过图3映射关系可以为电池组提供一个相对准确的SOC初值，同时也可以对长时间静置后 V, Stand still 的电池进行SOC初值校正.标定完$OC初值后， 3.25 再通过安时积分计量法例来在线估算电池SOC 而实际上由于安时积分计量法属于一种开环估计 Discharge 方法，当SOC初值标定不准的情况下，估计曲线始 3.20 start Discharge stop 终是无法收敛于真实轨迹对于这一问题，接下来通过无迹卡尔曼滤波对安时积分计量法的估计值进行实时修正，以改 3.15 0 5 10 152025 30 3540 Sampling points 善开环估算的效果.此外，考虑到电池老化、环境温度等扰动因素的影响，在工程实施时，宜拟合出图2一个脉冲放电周期内单体端电压响应曲线 Fig.2 Dynamic curve of U in a pulse-periodic discharge 多份OCV-SOC曲线程中的动态特性： 3电池状态估计 (1)在放电开始时刻，由于欧姆内阻上产生的 3.1电池S0C估计算法压降，导致端电压瞬间抖降，随后由于给等效电容 UKF滤波的核心是UT变换，即通过确定性采进行充电，端电压呈准指数函数下降；样构造Sigma点集来近似系统非线性函数的概率 (2)在放电结束时刻，由于欧姆内阻上的压降密度分布进而求解非线性滤波问题.不过，传统UKF 消失，导致端电压瞬间抖升，随后由于等效电容放算法在更新状态协方差时存在减法运算，不能保电使得端电压进一步缓慢上升，最终趋于稳定，其证协方差矩阵的非负定性，存在滤波发散的隐患. 中，2-V1表示端电压相对快速的变化过程，V3 为此，本文给出一种快速SR-UKF估计方法： ?表示端电压相对缓慢的变化过程在UKF滤波过程中，使用状态误差协方差矩阵的 2.1模型参数平方根进行迭代运算，以避免协方差矩阵负定而通过图2所示的“浅放-静置”的恒流脉冲放致滤波结果发散的缺陷：为了降低UKF的计电试验，对二阶RC网络模型参数进行辨识，模型算开销，在UT变换时对观测方程进行准线性化处参数初值见表1 理，建立开路电压与电池$OC的映射表，通过查表表1基于二阶RC网络的模型参数方法来减少对观测方程的数值计算 Table 1 Parameters of 2-order RC model 3.1.1定义 R/mo R/m R/m O(A-h) C/F C/F 定义1.QR分解 5.9 2.0 38 29.3 36000 68400 若存在正定矩阵Qmxm与上三角矩阵Rmx,使 2.2 OCV-S0C曲线得Ama=2mxm Rmxn,则称之为A的QR分解，且记在上述实验条件下，采用开路电压法©拟合 R=qr(A). 出静置稳定后的开路电压与电池$OC之间的映射定义2.Cholesky因子关系曲线，如图3所示由定义1知，AT的QR分解，即AT=OR,若矩阵P=AAT,有P=RTOTOR=RTR则称为P的 3.4 Cholesky因子，记为R=chol{P 3.3 定义3.Cholesky因子的一阶更新 3.2 由定义2知，若已知p的Cholesky因子为R,则称P±vuuT的Cholesky因子为的一阶更新，记 3.0 为R=cholupdate{R,u,±v 2.9 3.1.2SR-UKF算法 2.8 算法设计如下： 0102030405060708090100 SOC/% (1)UT变换图3开路电压与SOC的关系曲线 a)构造2W+1维Sigma点集 Fig.3 Relationship between open circuit voltage and SOC 利用随机向量的均值与协方差平方根来构造

程中的动态特性：（1）在放电开始时刻，由于欧姆内阻上产生的压降，导致端电压瞬间抖降，随后由于给等效电容进行充电，端电压呈准指数函数下降；（2）在放电结束时刻，由于欧姆内阻上的压降消失，导致端电压瞬间抖升，随后由于等效电容放电使得端电压进一步缓慢上升，最终趋于稳定，其中， V2 -V1 表示端电压相对快速的变化过程， V3 - V2 表示端电压相对缓慢的变化过程. 2.1 模型参数通过图 2 所示的“浅放−静置”的恒流脉冲放电试验，对二阶 RC 网络模型参数进行辨识，模型参数初值见表 1. 表 1 基于二阶 RC 网络的模型参数 Table 1 Parameters of 2nd-order RC model Re /mΩ Rs /mΩ Rl /mΩ Q0 /(A·h) Cs /F Cl /F 5.9 2.0 3.8 29.3 36000 68400 2.2 OCV–SOC 曲线在上述实验条件下，采用开路电压法[10] 拟合出静置稳定后的开路电压与电池 SOC 之间的映射关系曲线，如图 3 所示. SOC/% 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 OCV/V 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 图 3 开路电压与 SOC 的关系曲线 Fig.3 Relationship between open circuit voltage and SOC 通过图 3 映射关系可以为电池组提供一个相对准确的 SOC 初值，同时也可以对长时间静置后的电池进行 SOC 初值校正. 标定完 SOC 初值后，再通过安时积分计量法[9] 来在线估算电池 SOC. 而实际上由于安时积分计量法属于一种开环估计方法，当 SOC 初值标定不准的情况下，估计曲线始终是无法收敛于真实轨迹. 对于这一问题，接下来通过无迹卡尔曼滤波对安时积分计量法的估计值进行实时修正，以改善开环估算的效果. 此外，考虑到电池老化、环境温度等扰动因素的影响，在工程实施时，宜拟合出多份 OCV–SOC 曲线. 3 电池状态估计 3.1 电池 SOC 估计算法 UKF 滤波的核心是 UT 变换，即通过确定性采样构造 Sigma 点集来近似系统非线性函数的概率密度分布进而求解非线性滤波问题. 不过，传统 UKF 算法在更新状态协方差时存在减法运算，不能保证协方差矩阵的非负定性，存在滤波发散的隐患. 为此，本文给出一种快速 SR-UKF 估计方法：在 UKF 滤波过程中，使用状态误差协方差矩阵的平方根进行迭代运算，以避免协方差矩阵负定而致滤波结果发散的缺陷[19−21] ；为了降低 UKF 的计算开销，在 UT 变换时对观测方程进行准线性化处理，建立开路电压与电池 SOC 的映射表，通过查表方法来减少对观测方程的数值计算. 3.1.1 定义定义 1. QR 分解 Qm×m Rm×n Am×n = Qm×mRm×n R = qr{A} 若存在正定矩阵与上三角矩阵，使得，则称之为 A 的 QR 分解，且记 . 定义 2. Cholesky 因子 A T A T = Q˜R˜ P = AAT P = R˜ TQ˜ TQ˜R˜ = R˜ TR˜ R˜ P R˜ = chol{P} 由定义 1 知，的 QR 分解，即，若矩阵，有，则称为的 Cholesky 因子，记为 . 定义 3. Cholesky 因子的一阶更新 P R˜ P± √ vuuT R˜ R˜ = cholupdate { R˜,u,±v } 由定义 2 知，若已知的 Cholesky 因子为，则称的 Cholesky 因子为的一阶更新，记为 . 3.1.2 SR-UKF 算法算法设计如下：（1）UT 变换. a）构造 2N+1 维 Sigma 点集利用随机向量的均值与协方差平方根来构造 Sampling points 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Uo/V 3.15 3.20 3.25 3.30 V1 V2 V3 Discharge start Discharge stop Stand still 图 2 一个脉冲放电周期内单体端电压响应曲线 Fig.2 Dynamic curve of Uo in a pulse-periodic discharge 章军辉等：基于快速 SR-UKF 的锂离子动力电池 SOC 联合估计 · 979 ·

980 工程科学学报，第43卷，第7期 Sigma点集式中，Z是观测值，G是卡尔曼增益，用于动态调整 X:=[E+VW+万Sx元-VW+万Sx】(9) 状态预测与观测残差之间的权重分配，无、S:为最式中，、S分别为式(5)所示模型中x1()的均值、优估计结果状态误差协方差的Cholesky因子，d为设计参数. 与标准UKF算法相比，本文设计的快速SR- 为了能够更好地逼近系统状态的后验分布情 UKF算法通过准线性化处理降低了UT变换过程况，对Sigma点集进行权值设计中的计算开销，同时在迭代过程中，用协方差矩阵 wm=w=0.5/W+),i∈(1,2W) 的平方根代替协方差矩阵，该平方根是由Q分解 wo=A/(N+) 与Cholesky因子的一阶更新得到，解决了UKF算 (10) 法迭代过程中可能由计算累积误差引起协方差矩 w=d/WN+)+(1-a2+B) 阵负定而导致滤波结果发散的问题，保证了电池式中，a是用来描述Sigma点集的偏离程度，取值 SOC在线滚动估计的数值稳定性范围为(I0,1):B是用来描述系统状态的分布情 3.1.3SOC初值校准况，在高斯分布情况下取2：A=a(N+k)-N,影响工程上，对SOC初值的校准工作是非常有必逼近精度，其中，参数k通常取0 要的，一则可有效避免估计误差的累积效应，进一 b)对Sigma点集进行非线性变换步改善估计精度；二则可使估计结果更平滑，且能将a)中构造的Sigma点集，代入式(5)中得快速收敛于期望轨迹 X=fX》方式1，在电池满充时，将SOC校准为100%： (11) Y=h(Xil 方式2，长时间静置后，根据当前温度选取相应的OCV-SOC映射表来校准. 式中，}、{}分别表示系统状态方程、观测方程的映射关系，X、Y分别为点集X,的状态预测、系 3.2电池SOH估计策略单体不一致性、监测误差、环境因素等给BMS 统输出，其中，h{}是通过查表的方法对观测方程均衡带来了较大的技术难度，严重时会引起容量进行准线性化处理. 低的单体过充过放，进一步加剧了单体之间的不 (2)迭代算式一致性，从而及时了解电池组中各单体的健康状假设过程噪声(k)服从NO,O)分布，观测噪声态，并及时更换掉老化的单体，对延长电池组的整 vk)服从N(O,F)分布体寿命具有实际意义 a)预测更新过程为随着充放电循环次数的增加，电池欧姆内阻 2N 会缓慢增大，电池标称容量也会逐渐衰减，且衰减 0 达20%时电池报废2四因此，可以通过电池欧姆内阻、电池最大可用容量来间接地表征电池的SOH = (12) 健康状态. s.=q平@x12w-到V反} 3.2.1基于欧姆内阻的SOH估计与电池SOC估计方法类似，仅需将式(5)所示 Sx =cholupdate[Sx. 的模型换成式(8)所示的模型，即可实现欧姆内阻 b)观测更新过程为的在线滚动估计 P,-义x-- 再利用欧姆内阻对电池$OH进行间接量化，其数学描述2为 -0 SOH (14) s,=r‖V四aw-辰} REoL-Re×100% REOL-RO 式中，REOL为电池寿命终结时的阻抗值，Ro为电池 5y=cholupdate Sy.Yo (13) 出厂时的阻抗值 G=(P/S)/S, 3.2.2基于电池容量的SOH估计金=i+GZ-列车用锂离子动力电池常用恒流转恒压的充电 5=cholupdateSx.GSy.-1) 方式，恒流充电时电流恒定，这样安时积分计量法的估算误差较小，可以利用该特点实现对电池总

Sigma 点集 Xi = [ x¯ x¯ + √ (N +λ) Sx x¯ − √ (N +λ) Sx ] （9） x¯ Sx x1(k) λ 式中，、分别为式（5）所示模型中的均值、状态误差协方差的 Cholesky 因子，为设计参数. 为了能够更好地逼近系统状态的后验分布情况，对 Sigma 点集进行权值设计    w m i = w c i = 0.5/(N +λ), i ∈ (1,2N) w m 0 = λ/(N +λ) w c 0 = λ/(N +λ)+(1−α 2 +β) （10） α β λ = α 2 (N +k)−N 式中，是用来描述 Sigma 点集的偏离程度，取值范围为 (10−4, 1)；是用来描述系统状态的分布情况，在高斯分布情况下取 2；，影响逼近精度，其中，参数 k 通常取 0. b）对 Sigma 点集进行非线性变换将 a）中构造的 Sigma 点集，代入式（5）中得    X − i = f{Xi} Y − i = h{Xi} （11） X − i Y − i Xi 式中，f{·}、h{·}分别表示系统状态方程、观测方程的映射关系，、分别为点集的状态预测、系统输出，其中，h{·}是通过查表的方法对观测方程进行准线性化处理. （2）迭代算式. w(k) N(0,Q) v(k) N(0,R) 假设过程噪声服从分布，观测噪声服从分布. a）预测更新过程为    x¯ = ∑ 2N i=0 ω m i X − i y¯ = ∑ 2N i=0 ω m i Y − i Sx = qr {[ √ ω c i [ X − i=1:2N − x¯ ] √ Q ]} Sx = cholupdate { Sx, [ X − 0 − x¯ ] , ωc 0 } （12） b）观测更新过程为    Pxy = ∑ 2N i=0 ω c i [X − i − x¯][Y − i −y¯] T Sy = qr {[ √ ω c i [ Y − i=1:2N −y¯ ] √ R ]} Sy = cholupdate { Sy, [ Y − 0 −y¯ ] , ωc 0 } G = ( Pxy/S T y ) /Sy ∧ x¯ = x¯ +G[Z −y¯] ∧ Sx = cholupdate { Sx, GSy, −1 } （13） Z G ∧ x¯ ∧ Sx 式中，是观测值，是卡尔曼增益，用于动态调整状态预测与观测残差之间的权重分配，、为最优估计结果. 与标准 UKF 算法相比，本文设计的快速 SRUKF 算法通过准线性化处理降低了 UT 变换过程中的计算开销，同时在迭代过程中，用协方差矩阵的平方根代替协方差矩阵，该平方根是由 QR 分解与 Cholesky 因子的一阶更新得到，解决了 UKF 算法迭代过程中可能由计算累积误差引起协方差矩阵负定而导致滤波结果发散的问题，保证了电池 SOC 在线滚动估计的数值稳定性. 3.1.3 SOC 初值校准工程上，对 SOC 初值的校准工作是非常有必要的，一则可有效避免估计误差的累积效应，进一步改善估计精度；二则可使估计结果更平滑，且能快速收敛于期望轨迹. 方式 1，在电池满充时，将 SOC 校准为 100%；方式 2，长时间静置后，根据当前温度选取相应的 OCV–SOC 映射表来校准. 3.2 电池 SOH 估计策略单体不一致性、监测误差、环境因素等给 BMS 均衡带来了较大的技术难度，严重时会引起容量低的单体过充过放，进一步加剧了单体之间的不一致性，从而及时了解电池组中各单体的健康状态，并及时更换掉老化的单体，对延长电池组的整体寿命具有实际意义. 随着充放电循环次数的增加，电池欧姆内阻会缓慢增大，电池标称容量也会逐渐衰减，且衰减达 20% 时电池报废[22] . 因此，可以通过电池欧姆内阻、电池最大可用容量来间接地表征电池的 SOH 健康状态. 3.2.1 基于欧姆内阻的 SOH 估计与电池 SOC 估计方法类似，仅需将式（5）所示的模型换成式（8）所示的模型，即可实现欧姆内阻的在线滚动估计. 再利用欧姆内阻对电池 SOH 进行间接量化，其数学描述[23] 为 SOH = REOL −Re REOL −R0 ×100% （14）式中， REOL 为电池寿命终结时的阻抗值， R0 为电池出厂时的阻抗值. 3.2.2 基于电池容量的 SOH 估计车用锂离子动力电池常用恒流转恒压的充电方式，恒流充电时电流恒定，这样安时积分计量法的估算误差较小，可以利用该特点实现对电池总 · 980 · 工程科学学报，第 43 卷，第 7 期

章军辉等：基于快速SR-UKF的锂离子动力电池SOC联合估计 981 容量的校准 3.3电池状态联合估计策略假设电池1时刻处于静置状态，S为时刻在实际工程中，考虑到电池老化、温度等因素由开路电压得到的SOC值，S2为恒流充电至2时的影响，有必要对电池等效模型参数R、Qo进行在刻且静置一段后，由开路电压得到的SOC值线校准，以保证电池SOC的估计精度，而较高的 Cin Qpe=Sn-Sn (15) SOC估算精度又将进一步改善SOH估计效果以及BMS管理24-2 式中，Qpre为当前电池最大可用容量，Qn=ld 为此，设计了一种联合估计策略，如图4所示为充人电量，其中，1为恒流充电电流该策略充分考虑了电池SOC与$OH之间紧密的再利用电池最大可用容量对电池SOH进行间内在关联性，实时辨识与修正离线标定的电池模接量化，其数学描述为型参数，能够较好地解决模型参数的时变问题，保 SOH= 2prc×100% 证了电池等效模型的准确性与有效性.同时对 (16) Qo SOC初值进行有条件校准，以期避免累积误差，提式中，Qo为电池出厂时的额定容量高收敛速度 SOC calibration SoC model Fast SR-UKF framework SOC SOH OCV-SOC SOC Temp map Uat SOH Fast SR-UKF Capacity model SOH framework calibration 图4电池SOC、SOH联合估计策略 Fig.4 SOC and SOH co-estimation strategy 4仿真验证估计误差曲线的收敛性较差，从而SR-UKF联合估计优势相对明显，能够较好地适应电池等效模型本文设计的快速联合估计算法记为SR-UKF 参数的时变特性联合估计，二阶RC网络模型参数的初值见表1， (2)估计曲线的收敛性对比对比实验如下实验条件： (I)SR-UKF联合估计与标准UKF估计对比. ①常温环境下，采用恒流放电方式，采样周期文献[4]表明，锂离子电池的欧姆内阻阻值变为30s; 化受环境温度以及电池SOC的影响，当环境温度 ②S0C真实值为98%，而初值标定为93% 或电池SOC较高时，电池的活性增强，从而欧姆内如图7所示，在SOC初值标定偏差为5%的情阻阻值较小，反之亦然况下，由于AH安时计量法是开环估计，从而滤波实验条件：过程中AH估计曲线始终不能收敛于期望轨迹，而放电实验过程中，将恒温箱温度由25℃缓慢采用闭环的SR-UKF估计能够较好解决AH估计升至30℃，采样周期为30s 因$OC初值标定不准而引入的估计误差问题， SR-UKF联合估计与标准UKF估计)的仿真 (3)电池内阻估计. 对比如图5与图6所示.SR-UKF联合估计的最大如图8所示，电池模型参数中欧姆内阻初值标误差约1.4%，且误差曲线呈收敛趋势，而标准UKF 定分别为5和8m2的情况下，经过SR-UKF迭代

容量的校准. S t1 S t2 假设电池 t1 时刻处于静置状态，为 t1 时刻由开路电压得到的 SOC 值，为恒流充电至 t2 时刻且静置一段后，由开路电压得到的 SOC 值. Qpre = Qin S t2 −S t1 （15） Qpre Qin = r t2 t1 式中，为当前电池最大可用容量， ηIdt 为充入电量，其中，I 为恒流充电电流. 再利用电池最大可用容量对电池 SOH 进行间接量化，其数学描述为 SOH = Qpre Q0 ×100% （16）式中， Q0 为电池出厂时的额定容量. 3.3 电池状态联合估计策略 Re Q0 在实际工程中，考虑到电池老化、温度等因素的影响，有必要对电池等效模型参数、进行在线校准，以保证电池 SOC 的估计精度，而较高的 SOC 估算精度又将进一步改善 SOH 估计效果以及 BMS 管理[24−25] . 为此，设计了一种联合估计策略，如图 4 所示. 该策略充分考虑了电池 SOC 与 SOH 之间紧密的内在关联性，实时辨识与修正离线标定的电池模型参数，能够较好地解决模型参数的时变问题，保证了电池等效模型的准确性与有效性. 同时对 SOC 初值进行有条件校准，以期避免累积误差，提高收敛速度. Re It SOC model Uo, t Temp SOH model Fast SR-UKF framework OCV−SOC map SOH It Uo, t SOC Ucs Ucl Fast SR-UKF framework Capacity calibration Q0 SOH SOC SOC calibration 图 4 电池 SOC、SOH 联合估计策略 Fig.4 SOC and SOH co-estimation strategy 4 仿真验证本文设计的快速联合估计算法记为 SR-UKF 联合估计，二阶 RC 网络模型参数的初值见表 1，对比实验如下. （1）SR-UKF 联合估计与标准 UKF 估计对比. 文献 [4] 表明，锂离子电池的欧姆内阻阻值变化受环境温度以及电池 SOC 的影响，当环境温度或电池 SOC 较高时，电池的活性增强，从而欧姆内阻阻值较小，反之亦然. 实验条件：放电实验过程中，将恒温箱温度由 25 ℃ 缓慢升至 30 ℃，采样周期为 30 s. SR-UKF 联合估计与标准 UKF 估计[13] 的仿真对比如图 5 与图 6 所示. SR-UKF 联合估计的最大误差约 1.4%，且误差曲线呈收敛趋势，而标准 UKF 估计误差曲线的收敛性较差，从而 SR-UKF 联合估计优势相对明显，能够较好地适应电池等效模型参数的时变特性. （2）估计曲线的收敛性对比. 实验条件： ① 常温环境下，采用恒流放电方式，采样周期为 30 s； ② SOC 真实值为 98%，而初值标定为 93%. 如图 7 所示，在 SOC 初值标定偏差为 5% 的情况下，由于 AH 安时计量法是开环估计，从而滤波过程中 AH 估计曲线始终不能收敛于期望轨迹，而采用闭环的 SR-UKF 估计能够较好解决 AH 估计因 SOC 初值标定不准而引入的估计误差问题. （3）电池内阻估计. 如图 8 所示，电池模型参数中欧姆内阻初值标定分别为 5 和 8 mΩ 的情况下，经过 SR-UKF 迭代章军辉等：基于快速 SR-UKF 的锂离子动力电池 SOC 联合估计 · 981 ·

982 工程科学学报，第43卷，第7期 100 11 Desired trajectory R initial calibration value of 8 mo -SR-UKF estimation 10 光 UKF estimation ----R initial calibration value of 5 mo 9 8 呢 > 6 YWwKW7 70 3090807元6050403020100 SOC/% 图8电池内阻估计曲线 Fig.8 Comparison of li-ion battery inner resistances 产生的热量，使得内阻阻值出现略微减小的过程，而当电池SOC较低时，内阻阻值显著增大 4 0 20 406080100120 前文中，图2已描述了一个脉冲放电周期内单 Sampling points 体端电压的变化过程，在放电瞬间端电压由于欧图5SR-UKF联合估计与标准UKF估计曲线对比姆内阻上产生的压降而发生抖降现象.进一步， Fig.5 Comparison of SR-UKF and UKF estimations 图9描述的是端电压的峰值与谷值压差变化曲 0 -SR-UKF estimation 线，当SOC较低后，由于放电过程的端电压下降的 1.5 -UKF estimation 幅度将显著高于静置过程的端电压所能回弹的幅度，从而压差曲线呈上升趋势 0.5 0 20 406080100 120 5040 Sampling points 80.35 图6SR-UKF联合估计与标准UKF估计误差曲线对比 030 Fig.6 Comparison of SR-UKF and UKF estimation errors 0.25 100 Desired trajectory 8ae SR-UKF estimation UKF estimation 90 1009080706050403020100 SOC/% 图9放电过程中端电压的峰谷压差曲线 80 Fig.9 Peak-valley difference in terminal voltage during discharge process (4)电池额定容量标定由于恒流充电时电流相对恒定，这样安时积 60 分计量法的估算误差较小，再通过式(15)对电池额定容量进行校准，以降低初始估计偏差本实验所用电池包中，最低单体电池额定容量Q的标定结果约为29.3Ah,说明单体容量已 40 0 20 40 6080 100 120 有一定程度的衰减了.为此，基于图4所示的联合 Sampling points 估计策略对Qo进行定期在线更新，保证电池等效图7SOC初值标定偏差为5%情况下的SOC估计曲线对比模型的准确性与有效性是有必要的 Fig.7 Comparison of SOC estimations when the calibration deviation of (5)实车工况验证 initial SOC value is 5% 实验条件：运算，两条估计曲线的变化趋势几近一致，即由内 ①试验车为安凯纯电动公交车，试验场地在定阻初值偏差而引入的扰动对估计结果的影响并不远国家汽车试验场，单体的标称容量为200Ah,采明显.此外，在电池放电初始阶段，由于电池放电样周期为0.5s,试验车的整个电流工况如图10所示：

运算，两条估计曲线的变化趋势几近一致，即由内阻初值偏差而引入的扰动对估计结果的影响并不明显. 此外，在电池放电初始阶段，由于电池放电产生的热量，使得内阻阻值出现略微减小的过程，而当电池 SOC 较低时，内阻阻值显著增大. 前文中，图 2 已描述了一个脉冲放电周期内单体端电压的变化过程，在放电瞬间端电压由于欧姆内阻上产生的压降而发生抖降现象. 进一步，图 9 描述的是端电压的峰值与谷值压差变化曲线，当 SOC 较低后，由于放电过程的端电压下降的幅度将显著高于静置过程的端电压所能回弹的幅度，从而压差曲线呈上升趋势. SOC/% Peak–valley difference of 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Uo/V 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 图 9 放电过程中端电压的峰谷压差曲线 Fig.9 Peak –valley difference in terminal voltage during discharge process （4）电池额定容量标定. 由于恒流充电时电流相对恒定，这样安时积分计量法的估算误差较小，再通过式（15）对电池额定容量进行校准，以降低初始估计偏差. 本实验所用电池包中，最低单体电池额定容量 Q0 的标定结果约为 29.3 A·h，说明单体容量已有一定程度的衰减了. 为此，基于图 4 所示的联合估计策略对 Q0 进行定期在线更新，保证电池等效模型的准确性与有效性是有必要的. （5）实车工况验证. 实验条件： ① 试验车为安凯纯电动公交车，试验场地在定远国家汽车试验场，单体的标称容量为 200 A·h，采样周期为 0.5 s，试验车的整个电流工况如图 10 所示； Sampling points 0 20 40 60 80 100 120 SOC/ % 40 50 60 70 80 90 100 Desired trajectory SR-UKF estimation UKF estimation 图 5 SR-UKF 联合估计与标准 UKF 估计曲线对比 Fig.5 Comparison of SR-UKF and UKF estimations Sampling points 0 20 40 60 80 100 120 Estimation error/ % 0 0.5 1.0 1.5 2.0 SR-UKF estimation UKF estimation 图 6 SR-UKF 联合估计与标准 UKF 估计误差曲线对比 Fig.6 Comparison of SR-UKF and UKF estimation errors Sampling points 0 20 40 60 80 100 120 SOC/ % 40 50 60 70 80 90 100 Desired trajectory SR-UKF estimation UKF estimation 图 7 SOC 初值标定偏差为 5% 情况下的 SOC 估计曲线对比 Fig.7 Comparison of SOC estimations when the calibration deviation of initial SOC value is 5% SOC/% 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Re/mΩ 5 6 7 8 9 10 11 Re initial calibration value of 8 mΩ Re initial calibration value of 5 mΩ 图 8 电池内阻估计曲线 Fig.8 Comparison of li-ion battery inner resistances · 982 · 工程科学学报，第 43 卷，第 7 期

章军辉等：基于快速SR-UKF的锂离子动力电池SOC联合估计 983 40 矩阵负定而导致滤波结果发散的问题，保证了电池SOC在线滚动估计的数值稳定性. (3)联合估计策略充分考虑了电池SOC、电池容量以及内阻之间紧密的内在关联性，能够较好地适应电池等效模型参数的时变特性，从而提高 0.7 1.4 了电池SOC的估计精度. Sampling points/10 图10试验车的电流工况参考文献 Fig.10 Currency curve of test vehicle [1] Zhang H K,Wang Y F,Qi H,et al.Active battery equalization method based on redundant battery for electric vehicles./EEE ②S0C真实值为99%，而初值标定为95% Trans Veh Technol,2019,68(8):7531 如图11所示，在S0C的初值标定偏差为4%的 21 An F Q,Zhao HL,Chen Z,et al.Development status and research 情况下，相比AH估计法，SR-UKF估计曲线能够 progress of power battery for pure electric vehicles.ChinJEng, 快速收敛于期望轨迹，实车工况进一步验证了SR- 2019,41(1):22 UKF估计算法的有效性. (安富强，赵洪量，程志，等.纯电动车用锂离子电池发展现状与研究进展.工程科学学报，2019,41(1)：22) 100 95 Desired trajectory [3] Afshar S,Morris K,Khajepour A.State-of-charge estimation using SR-UKF estimation 90 -AH estimation an EKF-based adaptive observer.IEEE Trans Control Syst 85 Technol,2019,27(5):1907 [4]Petzl M.Danzer M A.Advancements in OCV measurement and 75 analysis for lithium-ion batteries.IEEE Trans Energy Convers, 70 2013,28(3):675 65 [5]Xiong R.Zhang Y Z.He H W,et al.A double-scale,particle- 60 filtering,energy state prediction algorithm for lithium-ion batteries.IEEE Trans Ind Electron,2018,65(2):1526 50 t6] Partovibakhsh M,Liu GJ.An adaptive unscented Kalman filtering 45 approach for online estimation of model parameters and state-of- 4 0 20004000600080001000012000 charge of lithium-ion batteries for autonomous mobile robots Sampling points IEEE Trans Control Syst Technol,2015,23(1):357 图11SOC初值标定偏差为4%情况下的S0C估计曲线对比 [7] Chaoui H,Ibe-Ekeocha CC.State of charge and state of health Fig.11 Comparison of SOC estimations when the calibration deviation estimation for lithium batteries using recurrent neural networks. of initial SOC value is 4% IEEE Trans Veh Technol,2017,66(10):8773 5结论 [8] Wu J,Zhang C B.Chen Z H.An online method for lithium-ion battery remaining useful life estimation using importance sampling 针对标准UKF算法本身存在着因状态误差协 and neural networks.Appl Energy,2016,173:134 方差矩阵无法实现Cholesky分解而导致滤波发散 [9] Chun C Y,Cho B H,Kim J.Implementation of discharging/ charging current sensorless state-of-charge estimator reflecting 的隐患，以及在电池状态估计过程中由离线标定 cell-to-cell variations in lithium-ion series battery packs.Int 的电池等效模型参数而造成的累积误差的问题， Automot Technol,2016,17(5):909 本文设计了一种快速SR-UKF算法以及电池状态 [10]Weng C H,Sun J,Peng H.A unified open-circuit-voltage model of 联合估计策略，主要结论如下 lithium-ion batteries for state-of-charge estimation and state-of- (I)快速SR-UKF算法通过对观测方程进行准 health monitoring./Power Sources,2014,258:228 线性化处理，降低了UT变换过程中的计算开销； [11]Lavigne L.Sabatier J,Francisco J M,et al.Lithium-ion open 同时采用闭环设计避免了工程上AH开环估计不 circuit voltage(OCV)curve modelling and its ageing adjustment. 能收敛的缺陷 Power Sources,2016.324:694 [12]Paschero M,Storti G L,Rizzi A,et al.A novel mechanical (2)在SR-UKF迭代过程中，用协方差矩阵的 analogy-based battery model for SoC estimation using a multi-cell 平方根代替协方差矩阵，该平方根是由Q分解 EKF.IEEE Trans Sustainable Energy,2016,7(4):1695 与Cholesky因子的一阶更新得到，解决了标准UKF [13]Zhang J H,Li Q,Chen D P,et al.State Co-estimation algorithm 算法迭代过程中可能由计算累积误差引起协方差 for li-ion power batteries based on adaptive unscented kalman

② SOC 真实值为 99%，而初值标定为 95%. 如图 11 所示，在 SOC 的初值标定偏差为 4% 的情况下，相比 AH 估计法，SR-UKF 估计曲线能够快速收敛于期望轨迹，实车工况进一步验证了 SRUKF 估计算法的有效性. Sampling points 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 SOC/ % 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Desired trajectory SR-UKF estimation AH estimation 图 11 SOC 初值标定偏差为 4% 情况下的 SOC 估计曲线对比 Fig.11 Comparison of SOC estimations when the calibration deviation of initial SOC value is 4% 5 结论针对标准 UKF 算法本身存在着因状态误差协方差矩阵无法实现 Cholesky 分解而导致滤波发散的隐患，以及在电池状态估计过程中由离线标定的电池等效模型参数而造成的累积误差的问题，本文设计了一种快速 SR-UKF 算法以及电池状态联合估计策略，主要结论如下. （1）快速 SR-UKF 算法通过对观测方程进行准线性化处理，降低了 UT 变换过程中的计算开销；同时采用闭环设计避免了工程上 AH 开环估计不能收敛的缺陷. （2）在 SR-UKF 迭代过程中，用协方差矩阵的平方根代替协方差矩阵，该平方根是由 QR 分解与 Cholesky 因子的一阶更新得到，解决了标准 UKF 算法迭代过程中可能由计算累积误差引起协方差矩阵负定而导致滤波结果发散的问题，保证了电池 SOC 在线滚动估计的数值稳定性. （3）联合估计策略充分考虑了电池 SOC、电池容量以及内阻之间紧密的内在关联性，能够较好地适应电池等效模型参数的时变特性，从而提高了电池 SOC 的估计精度. 参考文献 Zhang H K, Wang Y F, Qi H, et al. Active battery equalization method based on redundant battery for electric vehicles. IEEE Trans Veh Technol, 2019, 68（8）: 7531 [1] An F Q, Zhao H L, Chen Z, et al. Development status and research progress of power battery for pure electric vehicles. Chin J Eng, 2019, 41（1）: 22 （安富强, 赵洪量, 程志, 等. 纯电动车用锂离子电池发展现状与研究进展. 工程科学学报, 2019, 41（1）：22） [2] Afshar S, Morris K, Khajepour A. State-of-charge estimation using an EKF-based adaptive observer. IEEE Trans Control Syst Technol, 2019, 27（5）: 1907 [3] Petzl M, Danzer M A. Advancements in OCV measurement and analysis for lithium-ion batteries. IEEE Trans Energy Convers, 2013, 28（3）: 675 [4] Xiong R, Zhang Y Z, He H W, et al. A double-scale, particlefiltering, energy state prediction algorithm for lithium-ion batteries. IEEE Trans Ind Electron, 2018, 65（2）: 1526 [5] Partovibakhsh M, Liu G J. An adaptive unscented Kalman filtering approach for online estimation of model parameters and state-ofcharge of lithium-ion batteries for autonomous mobile robots. IEEE Trans Control Syst Technol, 2015, 23（1）: 357 [6] Chaoui H, Ibe-Ekeocha C C. State of charge and state of health estimation for lithium batteries using recurrent neural networks. IEEE Trans Veh Technol, 2017, 66（10）: 8773 [7] Wu J, Zhang C B, Chen Z H. An online method for lithium-ion battery remaining useful life estimation using importance sampling and neural networks. Appl Energy, 2016, 173: 134 [8] Chun C Y, Cho B H, Kim J. Implementation of discharging/ charging current sensorless state-of-charge estimator reflecting cell-to-cell variations in lithium-ion series battery packs. Int J Automot Technol, 2016, 17（5）: 909 [9] Weng C H, Sun J, Peng H. A unified open-circuit-voltage model of lithium-ion batteries for state-of-charge estimation and state-ofhealth monitoring. J Power Sources, 2014, 258: 228 [10] Lavigne L, Sabatier J, Francisco J M, et al. Lithium-ion open circuit voltage (OCV) curve modelling and its ageing adjustment. J Power Sources, 2016, 324: 694 [11] Paschero M, Storti G L, Rizzi A, et al. A novel mechanical analogy-based battery model for SoC estimation using a multi-cell EKF. IEEE Trans Sustainable Energy, 2016, 7（4）: 1695 [12] Zhang J H, Li Q, Chen D P, et al. State Co-estimation algorithm for li-ion power batteries based on adaptive unscented kalman [13] Sampling points/104 0 0.7 1.4 2.1 I/A −200 0 200 400 图 10 试验车的电流工况 Fig.10 Currency curve of test vehicle 章军辉等：基于快速 SR-UKF 的锂离子动力电池 SOC 联合估计 · 983 ·

984 工程科学学报，第43卷，第7期 filters.J Northeast Univ Nat Sci,2020,41(11):1557 Processing.Salt Lake City,2001:3461 (章军辉，李庆，陈大鹏，等.基于自适应UKF的锂离子动力电池 [20]Aung H,Low K S,Goh S T.State-of-charge estimation of lithium- 状态联合估计.东北大学学报（自然科学版），2020,41(11)： ion battery using square root spherical unscented Kalman filter 1557) (Sqrt-UKFST)in nanosatellite.IEEE Trans Power Electron,2015, [14]Wang D,Yang F F,Tsui K L,et al.Remaining useful life 30(9):4774 prediction of lithium-ion batteries based on spherical cubature [21]Gholizade-Narm H,Charkhgard M.Lithium-ion battery state of particle filter.IEEE Trans Instrum Meas,2016,65(6):1282 charge estimation based on square-root unscented Kalman filter. [15]Takeno K,Ichimura M,Takano K,et al.Quick testing of batteries IET Power Electron,2013,6(9):1833 in lithium-ion battery packs with impedance-measuring [22]Lin HT,Liang T J,Chen S M.Estimation of battery state of health technology.J Power Sources,2004,128(1):67 using probabilistic neural network.IEEE Trans Ind Inf,2013. [16]Abraham D P,Knuth J L,Dees D W,et al.Performance 9(2):679 degradation of high-power lithium-ion cells:electrochemistry of [23]Kim J,Cho B H.State-of-charge estimation and state-of-health harvested electrodes.J Power Sources,2007,170(2):465 prediction of a Li-ion degraded battery based on an EKF combined [17]Klass V,Behm M,Lindbergh G.A support vector machine-based with a per-unit system.IEEE Trans Veh Technol,2011,60(9): state-of-health estimation method for lithium-ion batteries under 4249 electric vehicle operation.J Power Sources,2014,270:262 [24]Shen J N,Shen J J,He Y J,et al.Accurate state of charge [18]El Mejdoubi A,Chaoui H,Gualous H,et al.Lithium-ion batteries estimation with model mismatch for Li-ion batteries:a joint health prognosis considering aging conditions.IEEE Trans Power moving horizon estimation approach.IEEE Trans Power Electron, Electron,2019,34(7):6834 2019,34(5):4329 [19]Van der Merwe R,Wan E A.The square-root unscented Kalman [25]Yu QQ,Xiong R,Lin C,et al.Lithium-ion battery parameters and filter for state and parameter-estimation /Proceedings of 2001 state-of-charge joint estimation based on H-infinity and unscented IEEE International Conference on Acoustics,Speech and Signal Kalman filters.IEEE Trans Veh Technol,2017,66(10):8693

filters. J Northeast Univ Nat Sci, 2020, 41（11）: 1557 （章军辉, 李庆, 陈大鹏, 等. 基于自适应UKF的锂离子动力电池状态联合估计. 东北大学学报(自然科学版), 2020, 41（11）： 1557） Wang D, Yang F F, Tsui K L, et al. Remaining useful life prediction of lithium-ion batteries based on spherical cubature particle filter. IEEE Trans Instrum Meas, 2016, 65（6）: 1282 [14] Takeno K, Ichimura M, Takano K, et al. Quick testing of batteries in lithium-ion battery packs with impedance-measuring technology. J Power Sources, 2004, 128（1）: 67 [15] Abraham D P, Knuth J L, Dees D W, et al. Performance degradation of high-power lithium-ion cells: electrochemistry of harvested electrodes. J Power Sources, 2007, 170（2）: 465 [16] Klass V, Behm M, Lindbergh G. A support vector machine-based state-of-health estimation method for lithium-ion batteries under electric vehicle operation. J Power Sources, 2014, 270: 262 [17] El Mejdoubi A, Chaoui H, Gualous H, et al. Lithium-ion batteries health prognosis considering aging conditions. IEEE Trans Power Electron, 2019, 34（7）: 6834 [18] Van der Merwe R, Wan E A. The square-root unscented Kalman filter for state and parameter-estimation // Proceedings of 2001 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal [19] Processing. Salt Lake City, 2001: 3461 Aung H, Low K S, Goh S T. State-of-charge estimation of lithiumion battery using square root spherical unscented Kalman filter (Sqrt-UKFST) in nanosatellite. IEEE Trans Power Electron, 2015, 30（9）: 4774 [20] Gholizade-Narm H, Charkhgard M. Lithium-ion battery state of charge estimation based on square-root unscented Kalman filter. IET Power Electron, 2013, 6（9）: 1833 [21] Lin H T, Liang T J, Chen S M. Estimation of battery state of health using probabilistic neural network. IEEE Trans Ind Inf, 2013, 9（2）: 679 [22] Kim J, Cho B H. State-of-charge estimation and state-of-health prediction of a Li-ion degraded battery based on an EKF combined with a per-unit system. IEEE Trans Veh Technol, 2011, 60（9）: 4249 [23] Shen J N, Shen J J, He Y J, et al. Accurate state of charge estimation with model mismatch for Li-ion batteries: a joint moving horizon estimation approach. IEEE Trans Power Electron, 2019, 34（5）: 4329 [24] Yu Q Q, Xiong R, Lin C, et al. Lithium-ion battery parameters and state-of-charge joint estimation based on H-infinity and unscented Kalman filters. IEEE Trans Veh Technol, 2017, 66（10）: 8693 [25] · 984 · 工程科学学报，第 43 卷，第 7 期

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