数 理 着考处 2】欧拉公式 e=cost+ JoInt,t∈(-∞,+∞) (22.17) 证明:(1)利用式(22.16)的幂级数展式,可以得到 sint= t 3+571+91+"+(2n t∈(-∞,+∞)(2.2.18) 显然有lmSa()= lim sin t1 2.2.19) t→0 t→>0 (2)对式(22.18)两边分别求导可得 -1 cost=1--+ +—+… t∈(-∞,+∞)(2.220 2 3)利用式(2216)的幂级数展式,可以得到 1+t t∈(-∞,+ (2.2.21)cos sin , ( , ) 2.2.17 jt e tj t t = + ∈ −∞ +∞ （ 【2 】 欧拉 公 式 ） 3579 1 2 1 0 0 2468 1 2 1 2.2.16 ( 1) sin , ( , ) 2.2.18 3! 5! 7! 9! (2 1)! sin lim ( ) lim 1 2.2.19 2 2.2.18 ( 1) cos 1 2! 4! 6! 8! (2 2)! n n t t n n tttt t t t t n t Sa t t tttt t t n − − → → − − = − + − + + + + ∈ −∞ +∞ − = = − =− + − + + + − " " " 证 明：（）利用式（ ）的幂级数展式，可以得到 （ ） 显然有 （ ） （ ）对式（ ）两边分别求导可得 2 23456 , ( , ) 2.2.20 (3) 2.2.16 1 , ( , ) 2.2.2 1 2! 3! 4! 5! 6! ! n t t ttttt t e t t n − + ∈ −∞ +∞ = + + + + + + + + + ∈ −∞ +∞ " " " （ ） 利用式（ ）的幂级数展式，可以得到 （ ）