2.证明∫”关于y在a6(0<a<b<+)上一致收敛,但在(0+)上 非一致收敛 数学分析试题(二年级第一学期)答案 叙述题(每小题10分,共30分) 1.设Ω2为R2上的零边界区域,函数z=f(x,y)在Ω上有界。将Ω用曲线网分成n个 小区域△C21,△2,△n(称为9的一个分划),记△G1为△9的面积,并记所有的 小区域△2的最大直径为。在每个△g上任取一点(5,),若趋于零时,和式 =∑∫(5,n 的极限存在且与区域的分法和点(51,n2)的取法无关,则称f(x)在9上可积,并称此极 限为f(x,y)在有界闭区域上的二重积分,记为 =j(xy)o=m∑/(5,m)M 2.设Ω是R3中由光滑或分片光滑的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域,函数 P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,x)在Ω上具有连续偏导数。则成立等式 ay a kady==[ Pdyd=+Od=dx+Rdxdy 这里O的定向为外侧 3.设函数v(x)在[a,b]可积且绝对可积,则成立 lim v(x)sin pxdx= lim v(x)cos pxdx=0 二计算题(每小题10分,共50分) 1求球面x2+y2+z2=50与锥面x2+y2=2所截出的曲线的点(3,45)处的切 线与法平面方程。 解设F(x,y,2)=x2+y2+2-50,G(x,y,=)=x2+y2-2。它们在(3,4,5)处的偏导 数和雅可比行列式之值为 aF aF7 2．证明 dx x xy  + 0 sin 关于 y 在 [a, b](0  a  b  +) 上一致收敛，但在 (0, + ) 上 非一致收敛. 数学分析试题（二年级第一学期）答案 一 叙述题（每小题 10 分，共 30 分） 1．设  为 2 R 上的零边界区域，函数 z = f (x, y) 在  上有界。将  用曲线网分成 n 个 小区域   n , ,..., 1 2 （称为  的一个分划），记  i 为 i 的面积，并记所有的 小区域 i 的最大直径为  。在每个 i 上任取一点 ( , )  i i ，若  趋于零时，和式 i n i i i I =  f    =1 ( , ) 的极限存在且与区域的分法和点 ( , )  i i 的取法无关，则称 f (x) 在  上可积，并称此极 限为 f (x, y) 在有界闭区域  上的二重积分，记为 i n i i i I f x y d f     = =     = → 1 0 ( , ) lim ( , ) 。 2．设  是 3 R 中由光滑或分片光滑的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域，函数 P(x, y,z) ，Q(x, y,z) 和 R(x, y,z) 在  上具有连续偏导数。则成立等式     = + +           +   +   dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ， 这里  的定向为外侧。 3．设函数 (x) 在 [a,b] 可积且绝对可积，则成立  = →+ b p a lim (x)sin pxdx lim ( ) cos = 0  →+ b p a  x pxdx 。 二 计算题（每小题 10 分，共 50 分） 1 求球面 50 2 2 2 x + y + z = 与锥面 2 2 2 x + y = z 所截出的曲线的点 (3, 4, 5) 处的切 线与法平面方程。 解 设 ( , , ) 50 2 2 2 F x y z = x + y + z − ， 2 2 2 G(x, y,z) = x + y − z 。它们在 (3, 4, 5) 处的偏导 数和雅可比行列式之值为： = 6,   x F = 8,   y F =10,   z F