35 0-1 故正交化后得(b,b2,b3)= 3-53-54 2.判断下列矩阵是否为正交矩阵 5891 (1) 2 )-999 447 999 解:(1)第一个行向量非单位向量故不是正交阵 (2)该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵 3.设A、B都是n阶正交矩阵,证明AB也是正交矩阵 证明:因为A,B是n阶正交阵,故A=A,B=B (AB)(AB)=B AAB=BAAB=E 故AB也是正交阵 4.求下列矩阵的特征值与特征向量 (1)|213 )(a1≠0) 336 解:(1)①A-AF|1-2-1 24-x|=(x-2)A-3)=0 故A的特征值为A=2,2=3 ②当A=2时解方程(A-2E)x=0,由 1-1 (A-2E)=22)(00 得基础解系P1= 所以kP1(k≠0)是对应于A1=2的全部特征值向量ᬙℷѸ࣪ৢᕫ 123 1 1 1 3 5 3 0 1 5 (, , ) 2 3 1 3 5 1 4 1 3 5 æ ö - ç ÷ ç ÷ ç ÷ - ç ÷ = ç ÷ -ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø bbb 2ˊ߸ᮁϟ߫ⶽ䰉ᰃ৺ЎℷѸⶽ䰉 (1) 1 1 1 2 3 1 1 1 2 2 1 1 1 3 2 æ ö - ç ÷ ç ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ - ç ÷ è ø (2) 1 84 9 99 81 4 99 9 4 47 9 99 æ ö - - ç ÷ ç ÷ ç ÷ - - ç ÷ ç ÷ ç ÷ - - è ø 㾷˖(1) ㄀ϔϾ㸠৥䞣䴲ऩԡ৥䞣,ᬙϡᰃℷѸ䰉ˊ (2) 䆹ᮍ䰉↣ϔϾ㸠৥䞣ഛᰃऩԡ৥䞣ˈϨϸϸℷѸˈᬙЎℷѸ䰉ˊ 3ˊ䆒 AǃB 䛑ᰃ n 䰊ℷѸⶽ䰉ˈ䆕ᯢ AB гᰃℷѸⶽ䰉 䆕ᯢ˖಴Ў A B, ᰃ n 䰊ℷѸ䰉ˈᬙ - - 1T 1T A AB B = = ˈ ˈ T TT 1 1 ( )( ) - - AB AB B A AB B A AB E == = ᬙ AB гᰃℷѸ䰉ˊ 4ˊ∖ϟ߫ⶽ䰉ⱘ⡍ᕕؐϢ⡍ᕕ৥䞣 (1) 123 213 336 æ ö ç ÷ ç ÷ è ø (2) 1 1 2 4 æ ö - ç ÷ è ø (3) ( ) 1 2 12 1 ( 0) n n a a aa a a a æ ö ç ÷ ç ÷ ¹ ç ÷ ç ÷ è ø L M 㾷˖(1) ķ 1 1 ( 2)( 3) 0 2 4 l l ll l - - - = = - -= - A E ᬙ A ⱘ⡍ᕕؐЎ 1 2 l l = = 2, 3ˊ ĸ ᔧl1=2ᯊ,㾷ᮍ⿟( 2) A Ex 0 - = ,⬅ 1 1 11 ( 2) 2 2 00 ~ æ öæ ö - - - = ç ÷ç ÷ è øè ø A E ᕫ෎⸔㾷㋏ 1 1 1 æ ö - = ç ÷ è ø p ᠔ҹ 11 1 k k p ( 0) ¹ ᰃᇍᑨѢl1=2ⱘܼ䚼⡍ᕕؐ৥䞣ˊ