证:设x获得增量Δx,其绝对值足够小,使得x+Δx∈(an,b),则F(x)(如图,图 中x>0)在x+△x处的函数值为:F(x+△x)=f( 由此得函数的增量 △F=F(x+△x)-F(x) 。(odh- So/(dt+ f()dt-/(dt 再应用积分中值定理,即有等式 △F=f()Ax 这里,在x与x+x之间,把上式两端各除以△x,得函数增量与自变量的比值 f(5) 由于假设f(x)连续,而Ax→0时,5→x,因此limf(5)=f(x)。于是,令Ax→0 △x→0 对上式两端取极限,左端的极限也应该等于f(x),故F(x)的导函数存在,并且 (19)(本题满分10分) f()=1-x用介弦级数展开,并求∑一的和 解:由f(x)为偶函数,则bn=0(n=1,2 cos nxdx-x cos ndx 2x2 0 第7页共13页第 7 页 共 13 页 F x f x ( ) = ( ) . 证 ：设 x 获得增量 x ，其绝对值足够小，使得 x x a b +  ( , ) ，则 F x( ) （如图，图 中  x 0 ）在 x x + 处的函数值为： 0 ( ) ( ) x x F x x f t dt + +  =  由此得函数的增量 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x F F x x F x f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt + + +  = +  − = − = + − =       再应用积分中值定理，即有等式  =  F f x ( )  这里，  在 x 与 x x + 之间，把上式两端各除以 x ，得函数增量与自变量的比值 ( ) F f x   =  由于假设 f x( ) 连续，而  →x 0 时，  → x ，因此 0 lim ( ) ( ) x f f x  → = 。于是，令  →x 0 对上式两端取极限，左端的极限也应该等于 f x( ) ，故 F x( ) 的导函数存在，并且 F x f x ( ) ( ) = (19)（本题满分 10 分） ( ) 2 f x x = −1 ，用余弦级数展开，并求 ( ) 1 2 1 1 n n n +  = −  的和 解：由 f x( ) 为偶函数，则 0 ( 1,2, ) n b n = = 对 n =1, 2, 0 2 ( )cos n a f x nxdx   =  2 0 0 2 cos cos nxdx x nxdx      = −       2 0 2 0 cos x nxdx     = −      2 0 2 sin 2 sin 0 x nx x nx dx n n    −   = −     