且B是B的线性无偏的最小方差估计量。 223其它性质 用最小二乘法拟合的回归方程还有一些值得注意的性质 1.残差和为零。 残差 ei= yi-yi 由第一个正规方程,得 e=∑(y-B-Bx)=0 2.拟合值y的平均值等于观测值y的平均值,即 Vi=y (10) 按照第一正规方程,有 ∑( (y2-B-Bx)=0 所以 ∑(B0+Bx)=∑ 3.当第i次试验的残差以相应的自变量取值为权重时,其加权残差和为零,即 (11) 这个结论由第二个正规方程∑x(y,-B6-Bx)=0即可得出。 当第i次试验的残差以相应的因变量的拟合值为权重时,其加权残差和为零, 即 ∑ⅳe (12) 这是因为 ∑(B+Rx)e=B∑e+B∑xe=0 5.最小二乘回归线总是通过观测数据的重心(x,y)的。 事实上,当自变量取值为x时,由式(5) Bo=y-Bx 所以 Bo+B,x=(-B,x)+B,x=y 23拟合效果分析 当根据一组观测数据得到最小二乘拟合方程后,必须考察一下,是否真的能由所得-232- 且 0 β ˆ 是 β 0 的线性无偏的最小方差估计量。 2.2.3 其它性质 用最小二乘法拟合的回归方程还有一些值得注意的性质： 1．残差和为零。 残差 i i i e = y − yˆ ，i = 1,2,L, n 由第一个正规方程，得 ) 0 ˆ ˆ ( 1 0 1 1 1 ∑ = ∑ − − = = = n i i n i i e y β β x （9） 2．拟合值 i yˆ 的平均值等于观测值 i y 的平均值，即 y y n y n n i i n i ∑ i = ∑ = =1 =1 1 ˆ 1 （10） 按照第一正规方程，有 ) 0 ˆ ˆ ( 1 ∑ − 0 − 1 = = n i i i y β β x 所以 ∑ ∑ ∑ = = = = + = n i i n i i n i i y x y 1 1 0 1 1 ) ˆ ˆ ˆ (β β 3．当第i 次试验的残差以相应的自变量取值为权重时，其加权残差和为零，即 0 1 ∑ = = n i i i x e （11） 这个结论由第二个正规方程 ) 0 ˆ ˆ ( 1 ∑ − 0 − 1 = = n i i i i x y β β x 即可得出。 4．当第i 次试验的残差以相应的因变量的拟合值为权重时，其加权残差和为零， 即 ˆ 0 1 ∑ = = i n i i y e （12） 这是因为 0 ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( 1 1 1 0 1 ∑ 0 + 1 = ∑ + ∑ = = = = n i i i n i i n i i i β β x e β e β x e 5．最小二乘回归线总是通过观测数据的重心(x, y)的。 事实上，当自变量取值为 x 时，由式（5） y x 0 1 β ˆ β ˆ = − 所以 y = + x = y − x + x = y 0 1 1 1 ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ β β β β 2.3 拟合效果分析 当根据一组观测数据得到最小二乘拟合方程后，必须考察一下，是否真的能由所得