银川能源学院《高签数学》教宋 第四童不定积分 第一节不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义1如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为x),即对任一xEL,都 有 F'(x)fx)dF(x)nx)dx, 那么函数F(x)就称为x)(或x)dx)在区间I上的原函数 例如因为(sinx'=cosx,所以sinx是cosx的原函数. 又如当x∈(1，+o)时， 因为y=太，所以G是的原函数 提问： cosx和2还有其它原函数吗？ 原函数存在定理如果函数x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导 函数F(x),使对任一xeI都有 F'(x)fx). 简单地说就是：连续函数一定有原函数 两点说明： 第一，如果函数x)在区间I上有原函数F(x),那么x)就有无限多个原函数 ,Fx)+C都是x)的原函数，其中C是任意常数. 第二，x)的任意两个原函数之间只差一个常数，即如果D(x)和Fx)都是x) 的原函数，则 (x)-F(x)=C(C为某个常数)】 定义2在区间I上，函数x)的带有任意常数项的原函数称为x)(或 x)d)在区间I上的不定积分，记作 ∫fx). 其中记号「称为积分号，x)称为被积函数，x)称为被积表达式，x称为积分变 量 根据定义，如果Fx)是x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是x) 的不定积分，即 f(x)dx=F(x)+C. 因而不定积分∫fx)d可以表示x)的任意一个原函数， 例L.因为sinx是cosx的原函数，所以 「cosxdx=sinx+C. 因为斥是，的原函数，所以 2vx c. 第2页银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 2 页 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义 1 如果在区间 I 上 可导函数 F(x)的导函数为 f(x) 即对任一 xI 都 有 F (x)f(x)或 dF(x)f(x)dx 那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数 例如 因为(sin x)cos x  所以 sin x 是 cos x 的原函数 又如当 x (1 )时 因为 x x 2 1 ( )   所以 x 是 2 x 1 的原函数 提问: cos x 和 2 x 1 还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数 f(x)在区间 I 上连续 那么在区间 I 上存在可导 函数 F(x) 使对任一 x I 都有 F (x)f(x) 简单地说就是 连续函数一定有原函数 两点说明 第一 如果函数 f(x)在区间 I 上有原函数 F(x) 那么 f(x)就有无限多个原函数  F(x)C 都是 f(x)的原函数 其中 C 是任意常数 第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和 F(x)都是 f(x) 的原函数 则 (x)F(x)C (C 为某个常数) 定义 2 在区间 I 上 函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或 f(x)dx )在区间 I 上的不定积分 记作  f (x)dx  其中记号  称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式 x 称为积分变 量 根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数 那么 F(x)C 就是 f(x) 的不定积分 即  f (x)dx  F(x)C  因而不定积分 f (x)dx  可以表示 f(x)的任意一个原函数 例 1因为 sin x 是 cos x 的原函数所以  cosxdx sin xC  因为 x 是 2 x 1 的原函数所以 dx x C x    2 1 