银川能源学院《高签激学》救朱 第四童不定积分 例2.求函数f)=的不定积分。 解：当0时，ny= dx+C0) 当x0时，n-xr=←= }=←4C6rx0, 合并上面两式，得到 本=nlx+C(r0, 例3设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的 两倍，求此曲线的方程 解设所求的曲线方程为=x),按题设，曲线上任一点(x,y)处的切线斜率 为y=f'(x)=2x, 即x)是2x的一个原函数. 因为 ∫2xdk=x2+C, 故必有某个常数C使x)=x2+C,即曲线方程为=x+C. 因所求曲线通过点(1,2)，故 2=1+C,C=1. 于是所求曲线方程为=x2+1. 积分曲线：函数x)的原函数的图形称为x)的积分曲线， 从不定积分的定义，即可知下述关系： &e=f, 或 dl[f(x)dx]=f(x)dx 又由于Fx)是F'(x)的原函数，所以 ∫F(xd=Fx)+C, 或记作 「dFx)=Fx)+C. 由此可见，微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算 以记号」表示)是互逆的.当记号∫与d连在一起时，或者抵消，或者抵消后 差一个常数 二、基本积分表 (I)「kd=kx+C(k是常数)， 第3页银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 3 页 例 2. 求函数 x f x 1 ( ) 的不定积分 解：当 x>0 时(ln x) x 1   dx x C x    ln 1 (x>0) 当 x<0 时[ln(x)] x x 1 ( 1) 1       dx x C x     ln( ) 1 (x<0) 合并上面两式得到 dx x C x    ln| | 1 (x0) 例 3 设曲线通过点(1 2) 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的 两倍 求此曲线的方程 解 设所求的曲线方程为 yf(x) 按题设 曲线上任一点(x y)处的切线斜率 为 yf (x)2x, , 即 f(x)是 2x 的一个原函数 因为  xdx  x C 2 2  故必有某个常数 C 使 f(x)x 2 C 即曲线方程为 yx 2 C 因所求曲线通过点(1 2) 故 21C C1 于是所求曲线方程为 yx 2 1 积分曲线 函数 f(x)的原函数的图形称为 f(x)的积分曲线 从不定积分的定义 即可知下述关系  [ f (x)dx] f (x) dx d  或  d[ f (x)dx] f (x)dx  又由于 F(x)是 F (x)的原函数 所以 F(x)dx  F(x)C  或记作  dF(x) F(x)C  由此可见 微分运算（以记号 d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算  以记号  表示）是互逆的 当记号  与 d 连在一起时 或者抵消 或者抵消后 差一个常数 二、基本积分表 (1)  kdx kxC (k 是常数)