小区间的长度Ax1=q-q=q(q-1),取51=q,(i=1,2,…n) (q-1)=n(q-1) 取q=2即q=2,∑f()Ax1=m(2-1) lim x(2-1)=lim In 2 x n(2n-1)=h2, △x,=limn(2n-1)=ln2 例3设函数∫(x)在区间[O,1上连续,且取正值 试证lmn [inf(x)dr 证明利用对数的性质得lm (极限运算与对数运算换序得) 指数上可理解为:hf(x)在[0,区间上的一个积分和,分点为x= (i=1.2.…,n) 因为f(x)在区间[0,]上连续,且f(x)>0,所以hf(x)在[0上有意义且可 积 m 2hn In f(x)ax 故lm5 小区间的长度 ( 1) 1 1  = − = − − − x q q q q i i i i ,取 −1 = i i q ，（ i =1,2,  ,n ） i i n i  f x = ( ) 1  i n i i =  x =1 1  ( 1) 1 1 1 1 = − − =  − q q q i n i i = = − n i q 1 ( 1) = n(q −1) 取 = 2 n q 即 n q 1 = 2 ， i i n i  f x = ( ) 1  (2 1), 1 = − n n lim (2 1) 1 − →+ x x x  x x x 1 2 1 lim 1 − = →+ = ln 2, lim (2 1) 1  − → n n n = ln 2, dx x  2 1 1 i n i i =  x = → 1 0 1 lim   lim (2 1) 1 = − → n n n = ln 2. 例 3 设函数 f (x) 在区间 [0,1] 上连续，且取正值. n n n n f n f n f                   →  1 2 试证 lim . 1 0 ln ( )  = f x dx e 证明 利用对数的性质得 n n n n f n f n f                   →  1 2 lim                           → = n n n n f n f n f e  1 2 ln lim                           → = n n n n f n f n f e  1 2 lim ln （极限运算与对数运算换序得）        = = → n i f n n i n e 1 ln 1 lim n n i f n i n e 1 lim ln 1        = = → 指数上可理 解为： ln f (x) 在 [0,1] 区间上的 一个积 分和．分 点为 n i xi = ， （ i =1,2,  ,n ） 因为 f (x) 在区间 [0,1] 上连续，且 f (x)  0 ，所以 ln f (x) 在 [0,1] 上有意义且可 积 , n n i f n i n 1 lim ln 1        → =  = 1 0 ln f (x)dx 故 n n n n f n f n f                   →  1 2 lim . 1 0 ln ( )  = f x dx e