关于拉格朗日方程的优越性和保守系概念的讨论。(41-43页可留待以后深入领会) 【例1】(43页)注意:所得拉格朗日方程就是33页图1。7例题的牛顿动力学方程在消去约束力和不独 立坐标以后得到的方程(5)和(6) 注意:比较33页图1。7例题的牛顿动力学方程、达朗贝尔方程和拉格朗日方程。注意它们的异同和联 【例2】(43页)(1)椭圆摆;讨论m=0和m→∞这两种特殊情况 (2)加弹簧的椭圆摆(假定弹簧是轻的,即不计及弹簧的动能):讨论m=0这种特殊情况 (3)滑块运动已知的椭圆摆(思考:相当于在滑块上加一个怎样的外力?) 【例3】一光滑杆在水平平面Oxy内以角速度O绕竖直轴O转动,一质点约束在杆上运动,t=0时 r=b,产=0,求质点的运动规则和杆的约束反作用力F 4页例题3由学生阅读 【例4】(45页)学生阅读。 【例5】拉格朗日陀螺(参阅教材§4.9.) 1.教材中,利用拉格朗日方程解拉格朗日陀螺,而利用欧拉动力学方程解欧拉陀螺。其实 这两种方法对这两个问题都是适用的。在2.11.中拉格朗日陀螺就是利用欧拉动力学方程解的 欧拉陀螺也可利用拉格朗日方程来解。重要的是,如果要用拉格朗日方程,可以把欧拉角作为 广义坐标,不能把ω-,O,O.作为广义速度。(如果把,,O,O.作为广义速度,那么广义坐标 是什么呢?)如果一定要把O2O,O2作为“广义速度”,那就要引入准速度和准坐标的概念 (参见参考资料3:191-199页) 2.由于拉格朗日函数不显含q,y,t,就得到三个守恒量。这样得到三个初积分,比利用欧 拉动力学方程要直截了当得多 3.有了三个初积分,并且能够对(9.9)积分,得(9。10),然后代入(9。4)得 L。- L, cos6 de 0 I sin2 8 [E-(0) -L cos0 ,sin[E'-Vo(O) 代入(9。5)也可类似处理。 根据三个初积分,分析三个欧拉角随时间变化的情况,就可定性地得到刚体的运动规律。 【思考】能否用拉格朗日函数求欧拉动力学方程?怎样求?(参考资料3:126页,191-199页) 【例6】在势能满足条件(G,)=P(玩c)+0()时,两体问题的拉格朗日函数也可表为两个单粒 子拉格朗日函数之和:L=L(c,kc)+L(,)L=Te-p(c)L=T-() 3.3.拉格朗日方程的解(见教材§2.7) 求解拉格朗日方程,也就是求这个由s个(=3m-k)二阶常微分方程构成的方程组的通解8 关于拉格朗日方程的优越性和保守系概念的讨论。（41－43 页可留待以后深入领会） 【例 1】（43 页）注意：所得拉格朗日方程就是 33 页图 1。7 例题的牛顿动力学方程在消去约束力和不独 立坐标以后得到的方程（5）和（6）。 注意：比较 33 页图 1。7 例题的牛顿动力学方程、达朗贝尔方程和拉格朗日方程。注意它们的异同和联 系。 【例 2】（43 页）(1)椭圆摆；讨论 m = 0 和 m  → 这两种特殊情况 (2)加弹簧的椭圆摆(假定弹簧是轻的，即不计及弹簧的动能)；讨论 m = 0 这种特殊情况 (3)滑块运动已知的椭圆摆（思考：相当于在滑块上加一个怎样的外力？） 【例 3】一光滑杆在水平平面 Oxy 内以角速度  绕竖直轴 Oz 转动，一质点约束在杆上运动， t = 0 时， r b r = = , 0 ，求质点的运动规则和杆的约束反作用力 FN 44 页例题 3 由学生阅读。 【例 4】（45 页）学生阅读。 【例 5】拉格朗日陀螺（参阅教材§4．9．） 1．教材中，利用拉格朗日方程解拉格朗日陀螺，而利用欧拉动力学方程解欧拉陀螺。其实， 这两种方法对这两个问题都是适用的。在 2．11．中拉格朗日陀螺就是利用欧拉动力学方程解的， 欧拉陀螺也可利用拉格朗日方程来解。重要的是，如果要用拉格朗日方程，可以把欧拉角作为 广义坐标，不能把 , ,    x y z 作为广义速度。（如果把 , ,    x y z 作为广义速度，那么广义坐标 是什么呢？）如果一定要把 , ,    x y z 作为“广义速度”，那就要引入准速度和准坐标的概念。 （参见参考资料 3：191—199 页） 2．由于拉格朗日函数不显含 , ,t ，就得到三个守恒量。这样得到三个初积分，比利用欧 拉动力学方程要直截了当得多。 3．有了三个初积分，并且能够对(9.9)积分，得（9。10），然后代入（9。4）得 ( ) 3 2 1 1 cos 1 sin 2 e k eff d L L d I E V I        − = =     −   ( ) 3 2 1 1 cos 2 sin e k eff L L d I E V I      − =    −    代入（9。5）也可类似处理。 根据三个初积分，分析三个欧拉角随时间变化的情况，就可定性地得到刚体的运动规律。 【思考】能否用拉格朗日函数求欧拉动力学方程？怎样求？(参考资料 3：126 页,191-199 页) 【例 6】在势能满足条件 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 , ( ) e i V r r V r V r  + C 时，两体问题的拉格朗日函数也可表为两个单粒 子拉格朗日函数之和： L L r r L r r = + C C C ( 0 0 , , ) ( ) ( ) ( 0 ) e L T V r C C C = − ( ) ( ) i L T V r  = −   3．3．拉格朗日方程的解（见教材§2．7.） 求解拉格朗日方程，也就是求这个由 s 个 (s = 3n − k) 二阶常微分方程构成的方程组的通解