为了弄清学生的心理活动,老师应当回想他自己的经验,回顾他自己在解 题时碰到的困难与取得成功的经验。 我们当然知道,如果我们对该论题知识贫乏,是不容易产生好念头的。如 果我们完全没有知识,则根本不可能产生好念头。一个好念头的基础是过去的 经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关 事实,则也不会出现好念头。只有材料还不足以盖房子,但是不收集必需的材 料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某 些有关内容,如以前解决的问题,以前证明过的定理。因此,以下列问题开始 工作常常是合适的:你知道一个与此有关的问题吗? 困难就在于:通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关,即,与它 有某种共同之处。我们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢?我们建议把 力量放在主要的共同之处上:看着未知数!试想起一个具有相同或相似未知数的 熟悉的问题来。 如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的早已解决的问题,那是 很幸运的。我们应当争取这样的运气;通过探索我们是可以得到它的。这里 有个问题与你的问题有关,且早已解决,你能利用它吗? 上述问题,如能很好地理解和认真地加以考虑,常常有助于激发起一连串 正确的想法;但它们并不总是有用的,它们并非魔法。如果这些问题不行,我 们必须寻找某些其他的适当接触点,并且探索问题的各个方面;我们不得不变 化、变换、修改该问题。你能否重述这个问题?我们表中的某些问题提示了改变 问题的专门方法,例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等;具 体细节是重要的,但我们现在不能深入讨论。改变问题可能导致提出某种适当 的辅助问题:如果你不能解决所提出的问题,则应首先尝试去解决某些与此有 关的问题。 尝试去应用各种已知的问题或定理,考虑各种修改,对各种辅助问题进行 试验,我们可能离开原来的问题太远,甚至最后有失掉它的危险。但是还有 个很好的问题可以把我们带回原处:你是否利用了所有的已知数据?你是否利用 了整个条件? 0.例子 我们回到第8节中的例子。 “你是否知道一个与此有关的问题?” 看着未知数,你是否知道一个具有相同未知数的问题?” “好,未知数是什么?” “平行六面体的对角线。” “你是否知道任何具有相同未知数的问题?” 不,我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题 你是否知道任何具有相似未知数的问题?”为了弄清学生的心理活动，老师应当回想他自己的经验，回顾他自己在解 题时碰到的困难与取得成功的经验。 我们当然知道，如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的。如 果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头。一个好念头的基础是过去的 经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关 事实，则也不会出现好念头。只有材料还不足以盖房子，但是不收集必需的材 料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某 些有关内容，如以前解决的问题，以前证明过的定理。因此，以下列问题开始 工作常常是合适的：你知道一个与此有关的问题吗? 困难就在于：通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关，即，与它 有某种共同之处。我们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢?我们建议把 力量放在主要的共同之处上：看着未知数!试想起一个具有相同或相似未知数的 熟悉的问题来。 如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的早已解决的问题，那是 很幸运的。我们应当争取这样的运气；通过探索我们是可以得到它的。 这里 有个问题与你的问题有关，且早已解决，你能利用它吗? 上述问题，如能很好地理解和认真地加以考虑，常常有助于激发起一连串 正确的想法；但它们并不总是有用的，它们并非魔法。如果这些问题不行，我 们必须寻找某些其他的适当接触点，并且探索问题的各个方面；我们不得不变 化、变换、修改该问题。你能否重述这个问题?我们表中的某些问题提示了改变 问题的专门方法，例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等；具 体细节是重要的，但我们现在不能深入讨论。改变问题可能导致提出某种适当 的辅助问题：如果你不能解决所提出的问题，则应首先尝试去解决某些与此有 关的问题。 尝试去应用各种已知的问题或定理，考虑各种修改，对各种辅助问题进行 试验，我们可能离开原来的问题太远，甚至最后有失掉它的危险。但是还有一 个很好的问题可以把我们带回原处：你是否利用了所有的已知数据?你是否利用 了整个条件? 10．例子 我们回到第8节中的例子。 “你是否知道一个与此有关的问题?” …… “看着未知数，你是否知道一个具有相同未知数的问题?” “好，未知数是什么?” “平行六面体的对角线。” “你是否知道任何具有相同未知数的问题?” “不，我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题” “你是否知道任何具有相似未知数的问题?