零点存在定理 定理3.4.3若函数f(x)在闭区间[ab上连续,且f(a)·f(b)<0,则 定存在 使f(2)=0。 证不失一般性,设f(a)<0,f(b)>0,定义集合V: x|f(x)<0,x∈[ab]}。 集合V有界,非空,所以必有上确界。令 5=sup v, 现证ξ∈(a,b),且f(5)=0 由于∫(x)连续,f(a)<0,38>0,x∈[a,a+a1:f(x)<0;再由f(b)>0, 3a2>0,x∈(b-62b]:f(x)>0。于是可知 a+δ1≤5≤b- 即ξ∈(a,b)。零点存在定理 定理3.4.3 若函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，且 f a f b ( ) ( ) 0   ，则一 定存在  (a,b)，使 f ( ) 0  = 。 证 不失一般性，设 f a( ) 0  ， f b( ) 0  ，定义集合V： V = { x f x x a b ( ) 0, [ , ]   }。 集合V 有界，非空，所以必有上确界。令  = supV ， 现证  (a,b)，且 f ( ) 0  = 。 由于 f (x) 连续，f a( ) 0  ， 1   0， 1   + x a a [ , ]  ：f x( ) 0  ；再由 f b( ) 0  ，  2   0， x  2 ( , ] b b − ： f x( ) 0  。于是可知 1 a +    2 b − ， 即  (a,b)