例7 0 解:设A 则 A= AA A=A-A 0101)(0 假设Am 01 1n-111(1 则 01)(01 于是由归纳法知,对于任意正整数n,有 01 12 a. 例8.令A= B b 则线性方程组(1)可用矩阵乘积表示出:AX=B 四、转置矩阵 定义3.把矩阵A的各行均换成同序数的列所得到的矩阵,称为A的转置 矩阵,记作A(或A)。例如 20 A 13 运算律:(1)()=A;(2)(A+B)=A+B; (3)(kpy=kf;(4)(4B)=B 证明:仅证(4) 设A=,),B=)n,记AB=C=()=n,BA=D=园)n,例 7． 计算 n         0 1 1 1 解： 设         = 0 1 1 1 A ， 则         =                = = 0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 1 1 2 A AA ，         =                = = 0 1 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 3 2 A A A 假设         − = − 0 1 1 1 1 n A n ， 则         =                − = = − 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 n n A A A n n ， 于是由归纳法知，对于任意正整数 n，有         =         0 1 1 0 1 1 1 n n 例 8． 令               = m m mn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 ，               = n x x x X  2 1 ，               = mb b b B  2 1 ， 则线性方程组 (1) 可用矩阵乘积表示出： AX = B 。 四、转置矩阵 定义 3 . 把矩阵 A 的各行均换成同序数的列所得到的矩阵，称为 A 的转置 矩阵，记作 A' （或 T A ）。例如：         − = 1 3 2 2 0 1 A ，           − = 1 2 0 3 2 1 A' 运算律： （1） (A')' = A ； （2） (A+ B)' = A'+B' ； （3） (kA)' = kA' ； （4） (AB)' = B' A' 证明： 仅证（4） 设 ( ) ( ) s n ij m s i j A a B b   = , = ，记 ( ) m n ij AB C c  = = ， ( ) m n B A D dij  ' ' = =