de 即192+ meRsin e=0, 4.5重量为P的物体用两根弹簧竖直由于环做小幅度摆动,所以sin0≈θ,可得 悬挂,如图所示,各弹簧的倔强系数标明在微分方程 图上.试求在图示两种情况下,系统沿竖直 d-6 mgR 方向振动的固有频率 6=0 dt 解答](1)可以证 摆动的圆频率为 明:当两根弹簧串联时, 总倔强系数为k= k1k/(k+k2),因此固有 频率为 周期为 2τ T 方法二:用机械能守恒定律.取环的质 心在最底点为重力势能零点,当环心转过角 度θ时,重力势能为 kk,g 一图4.5 Ep=mg(R-Rcose 2T V(K,+k)P 绕O点的转动动能为 E (2)因为当两根弹簧并联时,总倔强 系数等于两个弹簧的倔强系数之和,因此固总机械能为 有频率为 E=:lo+mg(R-Rcoso) g 环在转动时机械能守恒,即E为常量 将上式对时间求导,利用O=dOd,B do/dt,得 0=loB+ mgR(sine)a 4.6一匀质细圆环质量为m,半径为由于≠0,当θ很小有sin0≈,可得振动 R,绕通过环上一点而与环平面垂直的水平的微分方程 光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动,求摆动的 d-6 mgR 6=0 周期 解答]方法一:用转动定理.通过质心从而可求角频率和周期 垂直环面有一个轴,环绕此 [注意]角速度和圆频率使用同一字母 轴的转动惯量为 不要将两者混淆 I= mR. 根据平行轴定理,环绕过O 点的平行轴的转动惯量为 47横截面均匀的光y I=Ic mR=2mR 滑的U型管中有适量液 当环偏离平衡位置时,重力的力矩为体如图所示,液体的总0y M=-mgRsine 长度为L,求液面上下 方向与角度θ增加的方向相反 微小起伏的自由振动的 根据转动定理得 频率 1B=M,4．5 重量为 P 的物体用两根弹簧竖直 悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在 图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直 方向振动的固有频率． [解答]（1）可以证 明：当两根弹簧串联时， 总 倔 强 系 数 为 k = k1k2/(k1 + k2)，因此固有 频率为 2π   = 1 2π k m = 1 2 1 2 1 2 ( ) k k g k k P =  + ． （2）因为当两根弹簧并联时，总倔强 系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固 有频率为 2π   = 1 2 1 2 2 2 k kg m P = =   ． 4．6 一匀质细圆环质量为 m，半径为 R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平 光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的 周期． [解答]方法一：用转动定理．通过质心 垂直环面有一个轴，环绕此 轴的转动惯量为 Ic = mR2． 根据平行轴定理，环绕过 O 点的平行轴的转动惯量为 I = Ic + mR2 = 2mR2． 当环偏离平衡位置时，重力的力矩为 M = -mgRsinθ， 方向与角度 θ 增加的方向相反． 根据转动定理得 Iβ = M， 即 2 2 d sin 0 d I mgR t  + =  ， 由于环做小幅度摆动，所以 sinθ≈θ，可得 微分方程 2 2 d 0 d mgR t I  + =  ． 摆动的圆频率为 mgR I  = ， 周期为 2π T  = 2 2 2 I R mgR g =  =  ． 方法二：用机械能守恒定律．取环的质 心在最底点为重力势能零点，当环心转过角 度 θ 时，重力势能为 Ep = mg(R - Rcosθ)， 绕 O 点的转动动能为 1 2 2 E I k =  ， 总机械能为 1 2 ( cos ) 2 E I mg R R = + −   ． 环在转动时机械能守恒，即 E 为常量， 将上式对时间求导，利用 ω = dθ/dt，β = dω/dt，得 0 = Iωβ + mgR(sinθ) ω， 由于 ω ≠ 0，当 θ 很小有 sinθ≈θ，可得振动 的微分方程 2 2 d 0 d mgR t I  + =  ， 从而可求角频率和周期． [注意]角速度和圆频率使用同一字母 ω，不要将两者混淆． 4.7 横截面均匀的光 滑的U型管中有适量液 体如图所示，液体的总 长度为 L，求液面上下 微小起伏的自由振动的 频率。 C R mg θ O k1 k2 k k (a) (b) 图 4.5 0 y y y y 图 4.7