18 第1章有限单元法基本程式 求解方法可分为两类，即直接解法（例如高斯消去法、三角分解法、波前法等）和 迭代解法（例如超松弛迭代法、共轭梯度法等）。目前直接解法占主导地位，但在 大型问题中，更多采用的则是迭代解法。必须指出，代数方程组求解的效率在很 大程度上决定着有限元计算的效率，因此方程组解法备受重视。然而，本书不打 算介绍这方面的内容，因为它们是线性代数课程中介绍的基本部分。 求出节点位移后，计算单元应变、单元应力非常简单。事实上，只要按照前 述分析的步骤回代求解即可。 43y 【例题1.3】图1.8所示为一厚度为t的 弹性薄板，其材料的弹性模量为E,泊松比 v=0.2。单位长荷载g,不考虑重力。试计算 3) 弹性体的位移和应力。 解①结构离散化 将结构化分为三个单元，共5个节点，其 图ms州性薄梗 中节点3,4,5为固定边界点。 单元节点局部码与整体码的对应关系 单元号 2 局部码 2 2 2 整体码‖ 1 3 ②单元刚度矩阵 对于单元(1)，可求得A=0.5,b1=0,b2=-1,b3=1,c1=1,c2=-1, c3=0。计算结果表明，三个单元的刚度矩阵相同，即 「0.4 0 -0.4-0.4 0 0.4 0 1 -0.2-10.2 0 k=×-0.410.6 -0.4-0.21.40.6 -1 -0.4 1.4 -0.2 -0.4 0 0.2 -1 -0.2 0 L0.4 0 -0.4-0.4 0 0.4 ③整体刚度方程 kPkS k是 k罗 k+ 0 k k2+k80 k+k2 k K- k出 0 k k2 0 k3+kk2+ k k+k+k k贸 0 k 0 k k 求解方法可分为两类，即直接解法（例如高斯消去法、三角分解法、波前法等）和 迭代解法（例如超松弛迭代法、共轭梯度法等）。目前直接解法占主导地位，但在 大型问题中，更多采用的则是迭代解法。必须指出，代数方程组求解的效率在很 大程度上决定着有限元计算的效率，因此方程组解法备受重视。然而，本书不打 算介绍这方面的内容，因为它们是线性代数课程中介绍的基本部分。 求出节点位移后，计算单元应变、单元应力非常简单。事实上，只要按照前 图１８ 弹性薄板 述分析的步骤回代求解即可。 【例题１３】 图１８所示为一厚度为ｔ的 弹性薄 板，其 材 料 的 弹 性 模 量 为 Ｅ，泊 松 比 ν＝０２。单位长荷载ｑ，不考虑重力。试计算 弹性体的位移和应力。 解 ①结构离散化 将结构化分为三个单元，共５个节点，其 中节点３，４，５为固定边界点。 单元节点局部码与整体码的对应关系 单元号 １ ２ ３ 局部码 １２３１２３１ ２ ３ 整体码 １３４２４５４ ２ １ ②单元刚度矩阵 对于单元（１），可求得 Ａ＝０５，ｂ１＝０，ｂ２＝－１，ｂ３＝１，ｃ１＝１，ｃ２＝－１， ｃ３＝０。计算结果表明，三个单元的刚度矩阵相同，即 Ｋｅ＝ Ｅｔ １９２× ０４ ０ －０４ －０４ ０ ０４ ０ １ －０２ －１ ０２ ０ －０４ －０２ １４ ０６ －１ －０４ －０４ －１ ０６ １４ －０２ －０４ ０ ０２ －１ －０２ １ ０ 熿 燀 燄 ０４ ０ －０４ －０４ ０ ０４燅 ③整体刚度方程 Ｋ＝ ｋ（１） １１＋ｋ（３） ３３ ｋ（３） ３２ ｋ（１） １２ ｋ（１） １３ ＋ｋ（３） ３１ ０ ｋ（３） ２３ ｋ（２） １１ ＋ｋ（３） ２２ ０ ｋ（２） １２ ＋ｋ（３） ２１ ｋ（２） １３ ｋ（１） ２１ ０ ｋ（１） ２２ ｋ （１） ２３ ０ ｋ（１） ３１ ＋ｋ（３） １３ ｋ（２） ２１ ＋ｋ（３） １２ ｋ （１） ３２ ｋ （１） ３３ ＋ｋ （２） ２２ ＋ｋ （３） １１ ｋ （２） ２３ ０ ｋ（２） ３１ ０ ｋ（２） ３２ ｋ（２） 熿 燀 燄 ３３ 燅 ８１ 第１章 有限单元法基本程式