说明(1)以上几例所使用的均为三角代换三角代换的目的是化掉根式 般规律如下:当被积函数中含有 (1)√a2-x2,可令x=asnt; (2)Ⅷa2+x2,可令x=amn (3)√x2-a2,可令x= asec t 说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换 cosh2t- sinh2t=1∴x= asinh t,x= a cosh t也可以化掉根式 例 dx中,令x= asinh t,dx= a cosh tdt dt = dt=t+C=arsinh - +C acosh t x2+a+C 说明(3)积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换(或双曲代换)并不是绝对 的,需根据被积函数的情况来定 例19求 dx(三角代换很繁琐 1+x 解:令t=√1+x2→x2=t2-1,xadx=tdh, 1d=[(4-22+1)a=-t-2t3+t+C (8-4x2+3x4)l+x2+C 例20求 ate8 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 2 2 (1) a − x ，可令 x = asin t; 2 2 (2) a + x ，可令 x = a tan t; 2 2 (3) x − a ，可令 x = asect. 说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换. cosh sinh 1 2 2  t − t = x = asinh t, x = a cosh t 也可以化掉根式 例 dx x a  + 2 2 1 中, 令 x = asinh t ， dx = a cosh tdt dx x a  + 2 2 1  = dt a t a t cosh cosh  = dt = t +C C a x = arsinh + ln . 2 2 C a x a a x +         + = + 说明(3) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对 的，需根据被积函数的情况来定. 例 19 求 dx x x  + 2 5 1 （三角代换很繁琐） 解：令 2 t = 1+ x 1, 2 2  x = t − xdx = tdt, dx x x  + 2 5 1 ( ) tdt t t  − = 2 2 1 (t t )dt  = − 2 +1 4 2 = t − t + t +C 5 3 3 2 5 1 (8 4 3 ) 1 . 15 1 2 4 2 = − x + x + x +C 例 20 求 . 1 1 dx e  x + t a x 2 2 x − a