性质3行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k,等于用k乘此行列式： 引入记号：行列式的第：行（列）乘以数k,记作×k(或c,×k)。 推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的符号之外： 引入记号：行列：行（列）式的第：行（列）提出公因子k可记作：÷k(或c,÷k)。 性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零： 性质5若D的某一行（列）的元素都是两数之和，则D等于相应两个行列式之和。 性质6把D式的某行（列）的各元素乘以同一数加到另一行（列）上去，其值不变。 引入记号：以数k乘第)行（列）加到第：行（列）上去，记作5+k灯(G+kc,)。 注意：①+知不能写作：+，它们含义不同：②性质5的应用举例，见P19。 性质？行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 D=a4h+aa42+am4n=∑a4,i=l2,.,n 0-o+y4产24J=2 练习：P19:Ex1 总结本次课所讲主要内容和布置作业 引入新课。 第四节：行列式的展开与计算 N阶行列式的递推定义 定义：n阶行列式的值等于第一列的每个元与其代数余子式乘积的和。 定理：阶行列式的值等于第一行的每个元与其相应的代数余子式乘积的和。 1.利用行列式的性质和按行（列）展开定理推导范德蒙(Vandermonde)行列式 例： 证明。 2.由行列式的按行（列）展开性质6可得重要推论 性质7行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积 之和为零，即a14h+a24+.n4n=44=0i*, =a4,+k,+0山-2ee4=0ij 将性质6及性质？可写成如下形式（以助于记忆） 含==a,- 其中，-化称为克龙纳克儿(Kroneche)记号. 克拉默(Cramer)法则 L.Cramer法则 2 性质 3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数 k ，等于用 k 乘此行列式； 引入记号：行列式的第 i 行（列）乘以数 k ，记作 r k i  （或 c k i  ）。 推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的符号之外； 引入记号：行列 i 行（列）式的第 i 行（列）提出公因子 k 可记作 r k i  （或 c k i  ）。 性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零； 性质 5 若 D 的某一行（列）的元素都是两数之和，则 D 等于相应两个行列式之和。 性质 6 把 D 式的某行（列）的各元素乘以同一数加到另一行（列）上去，其值不变。 引入记号：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上去，记作 ( ) i j i j r + kr c + kc 。 注意： i j r + kr 不能写作 j i kr + r ，它们含义不同；性质 5 的应用举例，见 P19。 性质 7 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 D a A a A a A a A i n n k i i i i in in ik ik , 1,2, , 1 = 1 1 + 2 2 + = =  = ， = D a A a A a A a A j n n k j j j j nj nj kj kj , 1,2, , 1 = 1 1 + 2 2 + =  =  = 。 练习：P19：Ex 1 总结本次课所讲主要内容和布置作业 引入新课。 第四节：行列式的展开与计算 N 阶行列式的递推定义 定义：n 阶行列式的值等于第一列的每个元与其代数余子式乘积的和。 定理：n 阶行列式的值等于第一行的每个元与其相应的代数余子式乘积的和。 1．利用行列式的性质和按行（列）展开定理推导范德蒙（Vandermonde）行列式 例： 证明Vandermonde行列。 2．由行列式的按行（列）展开性质 6 可得重要推论 性质 7 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积 之和为零，即 a A a A a A a A i j n k i j + i j + in jn = ik jk =  = 0, 1 1 1 2 2  ， = a A a A a A a A i j n k i j + i j + ni nj = ki kj =  = 0, 1 1 1 2 2  。 将性质 6 及性质 7 可写成如下形式（以助于记忆）     =  = = = i j D i j a a jk D ij n k ik 0, , 1  或     =  = = = i j D i j a akj D ij n k ki 0, , 1  ， 其中     = = i j i j ij 0, 1,  ，称为克龙纳克儿（Kronecher）记号。 克拉默（Cramer）法则 1．Cramer法则