证：（1）由于A正定，则存在可逆矩阵P，使P'AP=E，于是有，(P'AP)-" = P-"A-"(P-) = (P-I))A-'(P-I) = E令Q=(P-})，则Q可逆，且 Q'A-"Q=E,即，A-"与单位矩阵E合同．故，A-"正定.（2）由于A正定，对VXER",X0,都有X'AX>0,因此有 X'(kA)X =kX'AX>0.故，kA正定.85.4正定二次型§5. 4 正定二次型 证：（1）由于 A 正定，则存在可逆矩阵 P，使 于是有， 故， 正定. 1 A − （2）由于A 正定，对 , 0, 都有 n    X R X X AX  0, 因此有 X kA X kX AX   ( ) 0. =  1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) (( ) ) ( ) P AP P A P P A P E − − − − − − −      = = = P AP E  = , 令 1 Q P( ) , − =  故， kA 正定. 即， 与单位矩阵E合同. 1 A − 则Q可逆，且 1 Q A Q E, −  =