Vol.26 No.2 刘阶萍等：工序能力指数的统计分析及改进 *207· (I)基于系统随机抽样方法的C,统计分析， 1.2 通常用样本的标准差S作为σ的估计值，故可 1.0 用C=。作为C的估计，由式有 0.8 c-5 (3) 60.6 假定按等时间间隔抽取了n个样本(c,x,)进 0.4 行处理，样本的平均值x及标准差$分别为 0.2 x=12x (4) n Fl 1 21 416181101 1工(x-对 3m- (5) 在用样本标准差S对σ进行估计时，由于” 图1系统随机抽样方式的C,统计偏差 G2 Fig.1 Statistical error of C,in the systematic random sam- (n-1),故有 pling manner "+r (6) 组样本，每组连续抽取m个样本，其样本可以表 n-1 2 X1Ix12·x1m 令=7，则 示为a… 绍腾 lxaa…xnJ (7) 每组样本的平均值和标准差为： 根据式(3)，有 品 (11) 8=-对 (12) 8c (8) 全部样本的均值x与标准差S为： ∑x (13) 式中，r为阶矩，(·)为伽玛函数 1 从式(8)可知，C,是C,的有偏估计，令 = (14) (9) 假定每组样本服从正态分布，则用平均标准 差$作为的估计时，有”m-,根据式 则 C,=b·EC,) (10) (13)以及分布的定理，有 式中，b为修正系数，以保证C,是C,的无偏估计， mm-) (15) 式(9)说明修正系数b.是随样本容量n变化 的，b与n的关系见表2.图1是修正系数bn随样本 因此，有 容量n的变化曲线. (16) 表2系统随机抽样法不同样本容量下的b值 Table 2 Values of b,under different sample values using the systematic random sampling method n20406080100 ”4得 b.0.96190.98110.98740.99060.9925 根据式(3)，有 从图1中可知，只有当样本容量n增大使b,趋 (17) 近1时，EC,)才趋近C.因此，当n>100时，C,可 视为C,的渐近无偏估计.为了保证C,对C,的有效 式中，为阶矩.从式(17)可知，整群随机抽样法计 估计，必须对C,进行修正，修正系数为b. 算的C也是C,的有偏估计.同样，令 (2)基于整群随机抽样方法的统计分析. ml-+1) 2 在整群随机抽样中，假设等时间间隔抽取1 ml n=ml (18) r(ml-h 2V b】 . 2 6 N 0 . 2 刘 阶萍 等 :工 序 能 力指 数 的统计 分析 及 改进 . 20, . ( l) 基 于 系 统 随机抽 样 方 法 的二统 计 分析 . 通 常用 样本 的标准 差兮作 为 6 的估 计值 , 故可 。 夯 几 一 兀 , 二 、 r 。 “ ~ 、 : 一 一 了 · 、 一 用 q = 土巴二岌毕作 为 q 的估计 . 由式 ( l) 有 65 ’ 一 ’ 一 ” ” 一 - · · 一 久 vT 一 TL 6 。 C = 创匕箫址= 临令C (3 、 65 5 假 定按等 时 间 间隔抽取 了n 个样 本 xl( , … 几)进 行 处 理 , 样 本 的平 均值无及 标准 差兮分别 为 石 0 . 6 , 一 土 公 , . 一 -~ ~ ~ . . , ~ . . . . . 州. 厂 n =1 1 华 /共氛 一汗 丫 n 一 i 问 2 1 4 1 6 1 8 1 10 1 在 用 样 本 标 准 差兮对 。 进 行 估 计 时 , 由 于 丫( n 一 l ) , 故 有 n 图 1 系统 随机 抽 样方 式 的 q 统 计偏 差 F ig · 1 S t a itS ict a l e r or r o f CP in t h e s y s t e m a t i c r a n d o m s a m - P iln g m a n n e r 片`月J 。一 一n记 (6) 组样 本 , 每 组连 续 抽 取 m 个 样 本 , 其样 本 可 以表 阮!医卜厂医 示 为 令 ; 一 合 , 贝。 梢果)鲁 梢 一图借 X 12 ” ’ X l。 工 22 ” ’ 丸。 工。 ” ` X 俪 ( 7) 根据 式 (3 ) , 有 、 l r { 卫具1 一矛食 、 ! n .丁 t 乙 J ~ 。 、 乙 几七 , ) = l , 二尸 I — 七 。 t 石 j 气乙 ) 一 I 刀 l l ! 尸石尸 l 气艺 ) 每 组 样本 的平 均值 和 标准 差 为 : ; 一 生兹 及一 丫茄布忍xu( 一 动 Z 全 部样 本 的均 值又与 标准 差 兮为 : ( 11) ( 12 ) 、产少. ,J 4 .1. 心 了.、 . 式 中 , ; 为阶 矩 , (r · ) 为伽 玛 函数 . 从 式 ( 8) 可 知 , G 是 G 的有偏 估计 , 令 , _ 、 二 r 阵1 I 乙 1 2 叹乙 ) , 八 、 D , = l— I 一下 , , 一几下丁 t , ) 、 n 少 T I鉴生 I 气 乙 ) , 一 摊 元 、 一 厂 一r ! , 户 . . ù了一, 十一一ì 工才, , 一一`不, , ù, ù一卜ǐ 一十碑l,矛”不 . `一,ù, 一六 卜山咕们,尹工r一 、 `乙刹“,, 、少. 洲叮一一=ù, 则), 则 G 一 bn · (E色) ( 10 ) 式 中 , b 。 为 修正 系 数 , 以保证氮是 q 的无 偏 估计 . 式 (9 ) 说 明修 正 系 数 b , 是 随样 本容 量 n 变 化 的 , 瓦与 n 的关 系见 表 2 , 图 1 是修 正 系数 b 。 随样 本 容量 n 的变 化 曲线 . 假 定每 组样 本 服 从正 态分 布 , 则用平 均 标准 一 食 , 。 、 , 二 , _ , . 、 . _ , 一 m ls 矛 , 「 , , . 、 1 , 。 , 一 , 、 差夕作 为“ 的估 计 时 , 有竺箫公交2 l l( m 一 ` )], 根据 式 ( 13) 以及了分布 的 定理 , 有 丝星 ~ , { l( 。 _ 1、 1 丫 人 r 、 … ` 2 ) ( 15) 因此 , 有 ( 16 ) 表 2 系统随 机抽样 法 不同 样本 容量下 的氏值 aT b l e 2 Va lu e s o f b , u n d e r d i幻re r e n t s a m P l e v a l u e s u s i n g t h e s y s t e m a it e r a n d o m s a m P il n g m e t h o d n 2 0 4 0 6 0 8 0 10 0 b , 0 . 9 6 1 9 0 . 9 8 1 1 0 . 9 8 7 4 0 . 9 9 06 0 . 9 925 令 l 犷 = 了 , 从 图 1 中可知 , 只有 当样 本容 量 n 增 大使 b ( 17 一八q 趋可 ) 近 1 时 , (E 色) 才趋 近 二 . 因此 , 当。 > 10 0 时 , 视为 CP 的渐 近 无偏 估计 . 为 了保 证氮对 q 的有 效 估 计 , 必 须 对之进行 修 正 , 修 正 系数 为氏 (2 ) 基 于整 群 随机 抽样 方 法 的统 计分 析 . 在 整 群 随机抽 样 中 , 假 设 等 时 间 间隔抽 取 l 式 中 , ; 为阶矩 . 从 式 ( 1 7) 可知 , 整 群 随机抽 样法 计 算 的氛也 是二 的有 偏 估计 . 同样 , 令 一 (m l一+1 1、 . 、 土 1 1 ~ es 下丁es es es l I 乙 1 Z t 乙 J , , . 。 、 D 。 = l , 甲 7 1 e es 下了兮了一 不一 , 刀 = 脚 l 【1 6 ) 、 m ` , r l些鉴三l L 乙 )