第3期 郭晓霞，等：小波去噪中软硬阈值的一种改良折衷法 ·223· 软阈值函数为 1 一维多分辨率分析 gnwk)(Iw,k|-入)，|w5k|≥入， 定义)设y,ez是空间L2(R)中的一个闭 0k= 0, |wk|<入 子空间列，Y,z被称为一维多分辨率分析 图1是这2种方法的示意图， MRA),如果V,/E满足下列条件： 1)单调性： 'C',j∈Z 2)逼近性： nV=101.UV,=L(R) (a)硬阈值方法 (b)软阙值方法 3)伸缩性： 图1软、硬阈函数的示意图 f()∈y,2刊∈'-，廿j∈Z: Fig 1 Schematic diagram of soft-threshold function 4)平移不变性： and hard-threshold function f()∈'%1-k)∈'o,k∈Z 5)Riez基存在性： 小波阈值去噪的具体处理过程：选择一个小波 存在中()∈'o,使得{中(1-)ez构成。的 并确定分解层数，然后将含噪信号在各尺度上进行 一个Rez基，即{中(1-k)}kz是线性无关的，且存 小波分解，保留大尺度低分辨率下的全部小波系数： 在常数A与B,满足0<A≤B<∞，使得对任意的 对于各尺度高分辨率下的小波系数，可以设定一个 f()∈o,总存在序列{4}z∈L(Z),有 阈值，幅值低于该阈值的小波系数置为0，高于该阈 值的小波系数或者完整保留，或者作相应的收缩 f)=∑4中(1-材 (shrinkage)”最后将处理后获得的小波系数利用 且 A/号≤1s≤Br8 逆小波变换进行重构，恢复出有效的信号.在以上处 理过程中，最关键的是如何选择阈值及如何进行阈 对任意函数f(),设()为f)向尺度空间y 值量化，在某种程度上，它关系到信号降噪的质量 投影后得到的j尺度下的逼近函数，即()= 在阈值入的选取中，Donoho等给出的通用阈 ∑4：(，4=f,中：()称尺度系数 值： 若将函数f(向不同尺度的小波空间W,投影，则 A=02lg(N) 可以得到不同尺度下的细节信号名()=∑d中，k(), 在各个尺度上是固定不变的，但由于噪声对应的小波 系数在每一尺度上均匀分布，并且随着尺度的增加 其中，d=(),中(w>称为小波系数 其幅值有所减小，所以在文献[4中将阈值取为 由以上定义，得到了一个MRA的框架，对任意 入()=0W2ogN)/logj+1) 函数f∈L2(R),可在这一框架下进行分解和重构， 式中：·是噪声强度，是分解尺度，N为信号长度 2小波阈值去噪 显然，随着尺度的增加，入（逐渐减小，该特性与 噪声在小波变换各尺度上的传播特性相一致， 1995年，D.L Dohono2-在小波变换的基础上 提出了阈值去噪的方法，其基本思想是，当小波系数 3 软硬阈值的改良折衷法 w,小于某个临界阈值时，认为这时的，主要是由 噪声引起的，应该舍弃；当”大于这个临界阈值 硬阈值法和软阈值法虽然得到了广泛的应用 时，认为这时的小波系数主要是由信号引起的，那么 也取得了较好的效果，但是方法本身还存在一些潜 就把这一部分的w,直接保留下来硬阈值方法) 在的缺点.从图1可以看出，软阈值法估计得到的小 或者按某一个固定量向零收缩软阈值方法，然后 波系数心整体连续性好，从而使估计信号不会产 用新的小波系数进行小波重构得到去噪后的信号. 生附加振荡，但当w,k|≥入时，0，与w,总存在恒 Donoho使用的硬阈值函数为 定的偏差，直接影响着重构信号与真实信号的逼近 W,|Pk|<入 程度：硬阈值法在均方误差意义上优于软阈值法，但 0,1wk|≥入 是所得到的估计信号会产生附加振荡，不具有同原 始信号一样的光滑性，这是由硬阈值处理函数在入 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net1 一维多分辨率分析 定义 [ 1 ] 设 { Vj }j∈Z是空间 L 2 ( R )中的一个闭 子空 间 列 , { Vj }j∈Z 被 称 为 一 维 多 分 辨 率 分 析 (MRA) ,如果 {Vj} j∈Z满足下列条件 : 1)单调性 : Vj < Vj+1 , Π j ∈ Z; 2)逼近性 : ∩ j∈Z Vj = { 0}, ∪ j∈Z Vj = L 2 (R ) ; 3)伸缩性 : f ( t) ∈VjΖ f (2 t) ∈Vj+1 , Π j ∈ Z; 4)平移不变性 : f ( t) ∈V0 Ζ f ( t - k) ∈V0 , Π k ∈ Z; 5) Riesz基存在性 : 存在 < ( t) ∈V0 ,使得 { < ( t - k) } k∈Z构成 V0 的 一个 Riesz基 ,即 { < ( t - k) } k∈Z是线性无关的 ,且存 在常数 A 与 B ,满足 0 < A ≤B < ∞,使得对任意的 f ( t) ∈V0 ,总存在序列 { ck } k∈Z ∈L 2 ( Z ) ,有 f ( t) = ∑ ∞ k = - ∞ ck < ( t - k) , 且 A‖f‖ 2 2 ≤ ∑ ∞ k = - ∞ | ck | 2 ≤B ‖f‖ 2 2 . 对任意函数 f ( t) ,设 fc j ( t)为 f ( t)向尺度空间 Vj 投影后得到的 j尺度下的逼近函数 , 即 fc j ( t) = ∑k c j k <j, k ( t) , c j k = ∫ f ( t) , <j, k ( t) ó称尺度系数. 若将函数 f ( t)向不同尺度的小波空间 Wj 投影,则 可以得到不同尺度下的细节信号 fd j ( t) = ∑x d j kψj, k (t), 其中, d j k =∫ f ( t) ,ψj, k (t) ó称为小波系数. 由以上定义 ,得到了一个 MRA的框架 ,对任意 函数 f∈L 2 (R ) ,可在这一框架下进行分解和重构. 2 小波阈值去噪 1995年 , D. L. Dohono [ 223 ]在小波变换的基础上 提出了阈值去噪的方法 ,其基本思想是 ,当小波系数 wj, k小于某个临界阈值时 ,认为这时的 wj, k主要是由 噪声引起的 ,应该舍弃; 当 wj, k大于这个临界阈值 时 ,认为这时的小波系数主要是由信号引起的 ,那么 就把这一部分的 wj, k直接保留下来 (硬阈值方法 ) 或者按某一个固定量向零收缩 (软阈值方法 ) ,然后 用新的小波系数进行小波重构得到去噪后的信号. Donoho使用的硬阈值函数为 w^j, k = wj, k , | wj, k | <λ; 0, | wj, k | ≥λ. 软阈值函数为 w^j, k = sgn (wj, k ) ( | wj, k | - λ) , 0, | wj, k | ≥λ, | wj, k | <λ. 图 1是这 2种方法的示意图. 图 1 软、硬阈函数的示意图 Fig. 1 Schematic diagram of soft2threshold function and hard2threshold function 小波阈值去噪的具体处理过程 :选择一个小波 并确定分解层数 ,然后将含噪信号在各尺度上进行 小波分解 ,保留大尺度低分辨率下的全部小波系数; 对于各尺度高分辨率下的小波系数 ,可以设定一个 阈值 ,幅值低于该阈值的小波系数置为 0,高于该阈 值的小波系数或者完整保留 ,或者作相应的“收缩 ( shrinkage) ”. 最后将处理后获得的小波系数利用 逆小波变换进行重构 ,恢复出有效的信号. 在以上处 理过程中 ,最关键的是如何选择阈值及如何进行阈 值量化 ,在某种程度上 ,它关系到信号降噪的质量. 在阈值 λ的选取中 , Donoho等给出的通用阈 值 : λ =σ 2 log (N ) 在各个尺度上是固定不变的,但由于噪声对应的小波 系数在每一尺度上均匀分布,并且随着尺度 j的增加 其幅值有所减小,所以在文献 [4 ]中将阈值取为 λ( j) =σ 2 log(N ) Þlog ( j + 1). 式中 :σ是噪声强度 , j是分解尺度 , N 为信号长度. 显然 ,随着尺度 j的增加 ,λ( j)逐渐减小 ,该特性与 噪声在小波变换各尺度上的传播特性相一致. 3 软硬阈值的改良折衷法 硬阈值法和软阈值法虽然得到了广泛的应用 , 也取得了较好的效果 ,但是方法本身还存在一些潜 在的缺点. 从图 1可以看出 ,软阈值法估计得到的小 波系数 w^j, k整体连续性好 ,从而使估计信号不会产 生附加振荡 ,但当 |wj, k | ≥λ时 , w^j, k与 wj, k总存在恒 定的偏差 ,直接影响着重构信号与真实信号的逼近 程度;硬阈值法在均方误差意义上优于软阈值法 ,但 是所得到的估计信号会产生附加振荡 ,不具有同原 始信号一样的光滑性 ,这是由硬阈值处理函数在 λ 第 3期 郭晓霞 ,等 :小波去噪中软硬阈值的一种改良折衷法 ·223·