·224- 智能系统学报 第3卷 处不连续引起的，其中均方误差MSE定义为以下数 数w:仍由2部分组成，一部分是信号f()对应的 学表达式： 小波系数，记为4ks另一部分是噪声e(n)对应的小 N I MsE=N空sW·s因月 波系数，记为k”,可能受y的影响而使w,> |马，为使0~4k‖最小，因此使0k的取值 式中：(k)为去噪后的估计信号，s(k)为原始信号. 介于w,|-入和w,之间可能会使估计出来的小 从上面的分析可知，单一地采用硬阈值法或软阈值 波系数0，更加接近于4，基于这一思想461，文献 法，去噪效果并不理想.但仔细分析可以发现，由于 1定义了软硬阈值折衷法，构造的阈值函数如下： 单纯的软阈值法估计出来的小波系数◆，，其绝对 值总比"，小入(w,≥入时)，所以要设法减小此偏 sgnw1)1wk|-a入)，|w,k|≥入： 差.不过，若把这种偏差减小为零硬阈值情况)也 0 1"k|<入 未必是好的 一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： 式中：a的取值范围为0≤a≤1显然，当a=1时，此 s(n)=f(n)+e(n),n =0,I..N-1. 阈值函数在以处连续，而当a≠1时，此阈值函数 式中：s()为含噪信号，f(n)为原始信号，o是噪声 在以处不连续，所以通过软硬阈值折衷法处理后 强度，e(n)为噪声信号.对其作离散小波变换，即 所得到的估计信号可能会产生附加振荡 N.I =2∑s(m中2.k 本文在上述软硬阈值折衷法的基础上进行了改 进，改进的阈值函数为 因为小波变换是线性变换，所以得到的小波系 sgn(wi)w+b 1p1≥入 (1) |"k|<入 式中：参数α、b均为大于1的实常数，根据实际情况 1mfw-动= 可调整a、b取值.而 li sgn(x =0 lin sgn( 所以式(4)是以直线y=x为渐近线的，即改进的阈 m)(IP,k|-入) 2) 值函数是以0：=w,为渐近线的，随着”的增大。 0逐渐接近w,k,减小了软阈值函数中0与w,之 (3) 间的恒定偏差.另外，改进的阈值函数不仅在α、b取 式(2)和式3)说明，当a→1时，式(1)接近软 任意值时具有连续性，而且比软硬阈值折衷法中的 阈值函数，当a→c时，式(1)接近硬阈值函数，由此 参数a有更大的取值空间.除此之外，该阈值函数还 可知，改进的阈值函数是介于软、硬阈值函数之间的 高阶可导，便于进行各种数学处理，所以改进的阈值 一个灵活选择，可通过参数a和b的调整，得到实用 函数较传统的软、硬阈值函数更加优越， 有效的阈值函数考虑函数 4 仿真实验 f(x)sgn(x) Ix-d4+b- 4 本文定义的信噪比SNR公式为 当x<0时 ∑(nl SNR og d* L ∑Ix(m-(m) =lm 式中：x(n)是原始信号，(n)是经小波降噪后的估 当x>0时 计信号 bA 为了说明改进的阈值函数在阈值去噪方法中的 1mf位=1m =1 x→+oX 优越性，在Matlab中对一信噪比是68098的含噪 而 信号： x 30 sin(t)+25 sin(21)+rand(n) 分别采用软阈值法、硬阈值法、软硬阈值折衷 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net处不连续引起的 ,其中均方误差 MSE定义为以下数 学表达式 : MSE = N - 1 ∑ N - 1 k =0 ( ^s( k) - s( k) ) 2 . 式中 : ^s( k)为去噪后的估计信号 , s( k)为原始信号. 从上面的分析可知 ,单一地采用硬阈值法或软阈值 法 ,去噪效果并不理想. 但仔细分析可以发现 ,由于 单纯的软阈值法估计出来的小波系数 w^j, k ,其绝对 值总比 wj, k小 λ(wj, k ≥λ时 ) ,所以要设法减小此偏 差. 不过 ,若把这种偏差减小为零 (硬阈值情况 )也 未必是好的. 一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式 : s( n) = f ( n) +σe ( n) , n = 0, 1, …, N - 1 . 式中 : s( n)为含噪信号 , f ( n)为原始信号 ,σ是噪声 强度 , e ( n)为噪声信号. 对其作离散小波变换 ,即 wj, k = 2 - j 2 ∑ N - 1 n =0 s( n)ψ(2 - j - k) . 因为小波变换是线性变换 ,所以得到的小波系 数 wj, k仍由 2部分组成 ,一部分是信号 f ( n)对应的 小波系数 ,记为 uj, k ;另一部分是噪声 e ( n)对应的小 波系数 ,记为 vj, k . wj, k可能受 vj, k的影响而使 |wj, k | > | uj, k | ,为使 ‖w^j, k - uj, k ‖最小 ,因此使 |w^j, k |的取值 介于 |wj, k | -λ和 |wj, k |之间可能会使估计出来的小 波系数 w^j, k更加接近于 uj, k ,基于这一思想 [ 426 ] ,文献 [ 1 ]定义了软硬阈值折衷法 ,构造的阈值函数如下 : w^j, k = sgn (wj, k ) ( | wj, k | - aλ) , 0, | wj, k | ≥λ; | wj, k | <λ. 式中 : a的取值范围为 0≤a≤1. 显然 ,当 a = 1时 ,此 阈值函数在 ±λ处连续 ,而当 a≠1时 ,此阈值函数 在 ±λ处不连续 ,所以通过软硬阈值折衷法处理后 , 所得到的估计信号可能会产生附加振荡. 本文在上述软硬阈值折衷法的基础上进行了改 进 ,改进的阈值函数为 w^j, k = sgn (wj, k ) | wj, k | - bλ a | |w j, k | -λ| + b - 1 , 0, | wj, k | ≥λ; | wj, k | <λ. (1) 式中 :参数 a、b均为大于 1的实常数 ,根据实际情况 可调整 a、b取值. 而 lima→1 sgn (wj, k ) | wj, k | - bλ a | |w j, k | -λ| 0 + b - 1 = sgn (wj, k ) ( | wj, k | - λ) . (2) lima→+∞ sgn (wj, k ) | wj, k | - bλ a | |w j, k | -λ| + b - 1 = wj, k . (3) 式 (2)和式 ( 3)说明 ,当 a→1时 ,式 ( 1)接近软 阈值函数;当 a→∞时 ,式 (1)接近硬阈值函数 ,由此 可知 ,改进的阈值函数是介于软、硬阈值函数之间的 一个灵活选择 ,可通过参数 a和 b的调整 ,得到实用 有效的阈值函数. 考虑函数 f ( x) = sgn ( x) | x | - bλ a | | x| -λ| + b - 1 . (4) 当 x < 0时 , limx→- ∞ f ( x) x = limx→- ∞ - - x - bλ a | - x -λ| + b - 1 x = 1. 当 x > 0时 , limx→+∞ f ( x) x = limx→+∞ x - bλ a | x -λ| + b - 1 x = 1, 而 limx→+∞ ( f ( x) - x) = limx→+∞ sgn ( x) bλ a ‖x| -λ| + b - 1 = 0 . 所以式 (4)是以直线 y = x为渐近线的 ,即改进的阈 值函数是以 w^j, k =wj, k为渐近线的 ,随着 wj, k的增大 , w^j, k逐渐接近 wj, k ,减小了软阈值函数中 w^j, k与 wj, k之 间的恒定偏差. 另外 ,改进的阈值函数不仅在 a、b取 任意值时具有连续性 ,而且比软硬阈值折衷法中的 参数 a有更大的取值空间. 除此之外 ,该阈值函数还 高阶可导 ,便于进行各种数学处理 ,所以改进的阈值 函数较传统的软、硬阈值函数更加优越. 4 仿真实验 本文定义的信噪比 SNR公式为 SNR = log ∑n x^ 2 ( n) ∑n [ x ( n) - x^ ( n) ] 2 . 式中 : x ( n)是原始信号 , x^ ( n)是经小波降噪后的估 计信号. 为了说明改进的阈值函数在阈值去噪方法中的 优越性 ,在 Matlab中对一信噪比是 6. 809 8的含噪 信号 : x = 30 sin ( t) + 25 sin (2 t) + rand ( n) . 分别采用软阈值法、硬阈值法、软硬阈值折衷 ·224· 智 能 系 统 学 报 第 3卷