二、收敛数列的性质 L.收敛数列的极限唯一.(Uniqueness) 证设limx=a,又limx,=b.由定义， ε>0,3N,，N2使得 当n>N,时，总有 x-a<8 (1) 当n>N2时，总有xn-b<e (2) 取N=maxW,N2},则当n>N时，有不等式(1)和(2)同时成立. 故la-bl=xn-b)-(xn-a≤xn-bl+|xn-a<e+&=28 由ε的任意性，上式仅当α=b时才成立，所以收敛数列的 极限是唯一的 2009年7月3日星期五 12 目录 上页 下页 、返回2009年7月3日星期五 12 目录 上页 下页 返回 二、收敛数列的性质 1. 收敛数列的极限唯一. (Uniqueness) 证 设 lim n n x a →∞ = ，又lim n n x b →∞ = ． 由定义, 1 ∀> ∃ ε 0, N ， N2 使得 当 1 n N> 时，总有 n x a − < ε 当 2 n N> 时，总有 （1） n x b − < ε 取 ma 1 2 N xN N = {, }， 则当n N> 时， 有不等式(1) 和(2)同时成立 （2） ． 故 ( )( ) n n ab x b x a − = −− − n n ≤ xbxa −+ − < ε + = ε ε2 由 ε 的任意性，上式仅当a b = 时才成立， 所以收敛数列的 极限是唯一的