例5对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长， 1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为。若学校共有400名学生，设各学生参加会议 的家长数相互独立 且服从同 布。(1)求参加会议的家长数X超过450的概率：(2)求 有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。 解(1)以X(k=1,2,.,400)记第k个学生来参加会议的家长数，则X的分布律为 0 12 P0.050.80.15 易知EX)=1.1DX)=0.19,k=12.40.而X=2X.由定理一，随机变量 A=l X-400×1.1 400√0.19 √4000.19 近似服从正态分布N(0,1),于是 PK>450=p-401L450-401a上A0009s147 √400√0.19 √4000.19 ≈1-1.147)=0.1357 (2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数，则Y~b(400,0.8),由定理三得 PY≤340} =Py-40x08 340-400×0.8 V400×0.8×0. ≤J400×0.8x02 =py-400x0.8 y40x08x02≤25 ≈(2.5)=0.9938. V.小结与提问： 中心极限定理表明，在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数增加时，其和的分布 趋于正态分布。这一事实阐明了正态分布的重要性。中心极限定理也揭示了为什么在实际应 用中会经常遇到正态分布，也就是揭示了产生正态分布变量的源泉。另一方面，它提供了独 立同分布随机变量之和了X。(其中X的方差存在)的近似分布，只要和式中加项的个数 充分大，就可以不必考虑和式中的随机变量服从什么分布，都可以用正态分布来近似，这在 应用上 有效和重要的 中心极限定理的内容包含极限，因而称它为极限定理是很自然的。又由于它在统计中 的重要性，称它为中心极限定理，这是Polya在1920年取的名字。 例 5 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长， 1 名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为。若学校共有 400 名学生，设各学生参加会议 的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率；（2）求 有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率。 解 （1）以 X (k =1,2,  ,400) k 记第 k 个学生来参加会议的家长数，则 X k 的分布律为 X k 0 1 2 Pk 0.05 0.8 0.15 易知 E(Xk ) =1.1,D(Xk ) = 0.19，k =1, 2,.400. 而 = = 400 k 1 X X k .由定理一，随机变量 400 0.19 400 1.1 400 0.19 400 1.1 400 1 −  =  −  = X X k k 近似服从正态分布 N (0,1) ，于是   1 (1.147) 0.1357 1.147 400 0.19 400 1.1 1 400 0.19 450 400 1.1 400 0.19 400 1.1 450  − =        −  = −       −   −   =  X P X P X P （2）以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数，则 Y～b(400,0.8)，由定理三得   (2.5) 0.9938. 2.5 400 0.8 0.2 400 0.8 400 0.8 0.2 340 400 0.8 400 0.8 0.2 400 0.8 340  =          −  =         −     −  =   Y P Y P P Y Ⅴ. 小结与提问： 中心极限定理表明，在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数增加时，其和的分布 趋于正态分布。这一事实阐明了正态分布的重要性。中心极限定理也揭示了为什么在实际应 用中会经常遇到正态分布，也就是揭示了产生正态分布变量的源泉。另一方面，它提供了独 立同分布随机变量之和 = n k X k 1 （其中 X k 的方差存在）的近似分布，只要和式中加项的个数 充分大，就可以不必考虑和式中的随机变量服从什么分布，都可以用正态分布来近似，这在 应用上是有效和重要的。 中心极限定理 的内容包含极限，因而称它为极限定理是很自然的。又由于它在统计中 的重要性，称它为中心极限定理，这是 Polya 在 1920 年取的名字