aG1+a2C2+…+acn=b, a1S+aC2+…+ancn=b 把第二式的两边乘以k,再与第一式相加，即为 (au+kaz)c+(a2+kaz)cz+.+(au +kazn)c=b+kbz. 故(G,c2,,cn)又满足（②）的第一个方程，因而是（②）的解。类似地可证（②）的 任一解也是(1)的解。这就证明了(1)与(2)是同解的。 对另外两种初等变换由读者自己去证明。 下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组。 对于方程组(1)，首先检查x的系数。如果x的系数a1,a,a,全为零，那么 方程组(1)对x没有任何限制，x就可以取任何值，而方程组(1)可以看作 x2,,x的方程组来解。如果x的系数不全为零，那么利用初等变换3，可以设 a,≠0。利用初等变换2，分别地把第一个方程的-1倍加到第i个方程 dn (i=2,…,s)。于是方程组(1)就变成 [ax1+a2x2+…+almn=b, Q22x2+…+a2mxn=b2, a2X2+…+amxn=b, (3) 其中 这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组 anx+...+a2=b2. (4) a2x2+…+dmxn=b, 的问题。显然，(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出x的值，这就得 出(3)的一个解：而(3)的解显然都是(4)的解。这就是说，方程组(3) 有解的充分必要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方 程组(1)有解的充分必要条件为方程组(4)有 对(4) 再按上面的分析进行变换，并且这样 一步步下去，最后就得到一个 阶梯方程组，为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为 . , 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 a c a c a c b a c a c a c b n n n n + + + = + + + =   把第二式的两边乘以 k，再与第一式相加，即为 ( ) ( ) ( ) . 11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 a + k a c + a + k a c ++ a n + k a n cn = b + k b 故（ n c ,c , ,c 1 2  ）又满足(2)的第一个方程，因而是(2)的解。类似地可证(2)的 任一解也是（1）的解。这就证明了（1）与(2)是同解的。 对另外两种初等变换由读者自己去证明。 下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组。 对于方程组（1），首先检查 x1的系数。如果 x1的系数 11 21 1 , , a a as 全为零，那么 方程组（1）对 1 x 没有任何限制， 1 x 就可以取任何值，而方程组（1）可以看作 n x , , x 2  的方程组来解。如果 1 x 的系数不全为零，那么利用初等变换 3，可以设 a11  0 。利用初等变换 2，分别地把第一个方程的－ 11 1 a ai 倍加到第 i 个方程 （i=2,…,s）。于是方程组（1）就变成        + + = + + = + + + = ` ` ` . ` 2 ` ` , 1 , 2 2 22 2 2 11 1 12 2 1 s sn n s n n a x a x b a x a x b a x a x a nxn b     (3) 其中 ` , 1 11 1 j i ij ij a a a a = a −  I=2,…,s,j=2,…,n. 这样，解方程组（1）的问题就归结为解方程组      + + = + + = ` ` ` . ` ` ` , 2 2 22 2 2 2 s sn n s n n a x a x b a x a x b    （4） 的问题。显然，（4）的一个解，代入（3）的第一个方程就定出 1 x 的值，这就得 出（3）的一个解；而（3）的解显然都 是（4）的解。这就是说，方程组（3） 有解的充分必要条件为方程组（4）有解，而（3）与（1）是同解的，因之，方 程组（1）有解的充分必要条件为方程组（4）有解。 对（4）再按上面的分析进行变换，并且这样一步步下去，最后就得到一个 阶梯方程组，为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为