2x1-x2+3x3=1 4x1+22+5x3=4, 2x1+x2+2x3=5. 第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变为 2x1-x2+3x3=1 4x-x3=2, 2x2-x3=4. 第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三个方程的次序交换，即得 2x1-x2+3x=1 2x2-x3=4 x3=-6. 这样，我们就容易求出方程组的解为(9，-1，-6)。 分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所做 的变换也只是由以下三种基本的变换所构成： 1.用一非零的数乘某一方程： 2.把一个方程的倍数加到另一个方程： 3.互换两个方程的位置。 于是，我们给出： 定义1 变换1,2,3称为线性方程组的初等变换。 消元的过程就是反复地施行初等变换的过程。下面证明，初等变换总是把方 程组变成同解的方程组。我们只对第二种初等变换来证明。 对方程组 [a+az2+…+amxn=b, a2+az2+…+a23=b, (1) ax+a.,x,++ax。=b 进行第二种初等变换。为简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到另一个方程 得到新方程组 (an+ka)+(a2+kazz)x++(aim +kazn )=b+kb. a2r+an2+…+ann=b2, (2) ax+aax2+…+amxm=b 现在设(G,C2,,c)是(1)的任一解，因(1)和（②）的后s-1个方程是一样的， 所以(G,c,…,cn)满足（②）的后s-1个方程。又(c,C2,,Cn)满足(I)的前 两个方程     + + = + + = − + = 2 2 5. 4 2 5 4, 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 第二个方程减去第一个方程的 2 倍，第三个方程减去第一个方程，就变为      − = − = − + = 2 4. 4 2, 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x 第二个方程减去第三个方程的 2 倍，把第二第三个方程的次序交换，即得      = − − = − + = 6. 2 4, 2 3 1, 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 这样，我们就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）。 分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所做 的变换也只是由以下三种基本的变换所构成： 1．用一非零的数乘某一方程； 2．把一个方程的倍数加到另一个方程； 3．互换两个方程的位置。 于是，我们给出： 定义 1 变换 1，2，3 称为线性方程组的初等变换。 消元的过程就是反复地施行初等变换的过程。下面证明，初等变换总是把方 程组变成同解的方程组。我们只对第二种初等变换来证明。 对方程组        + + + = + + + = + + + = . , , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 s s sn n s n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     (1) 进行第二种初等变换。为简便起见，不妨设把第二个方程的 k 倍加到另一个方程 得到新方程组        + + + = + + + = + + + + + + = + . , ( ) ( ) ( ) , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 s s s n n s n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a k a x a k a x a k a x b k b     (2) 现在设（ n c ,c , ,c 1 2  ）是(1)的任一解，因 (1)和 (2)的后 s-1 个方程是一样的， 所以（ n c ,c , ,c 1 2  ）满足(2)的后 s-1 个方程。又（ n c ,c , ,c 1 2  ）满足 (1)的前 两个方程