《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用 海南大学数学系 可确定函数组：二)代入“=x)即得”是y的函数 u=f(x.y,=(y).t(y)). u=f(x.y.z.t) 对方程组{g,:,)=0求微分，得 h(,)=0 du=f,dk+f,+f正+fd(l) 8,dy+g:d=+g,di=0 (2) h.d正+h,di=0 (3) 记J=g,若J≠0，由(2)(3)式 a,) 北8 代入(1)得 d加=fd+j+人8，h+68 =+U+g,fh-,f财=f+心，+8：Dw, J0=,0 故 器人等6+号驰骨 注：利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些。 四、隐函数可微性定理： 定理设函数F(x)满足隐函数存在唯一性定理的条件，又设在D内 F(x,y)存在且连续.则隐函数y=f(x)在区间(x。-a,x。+a)内可导，且 I()-E() F,(x,y) 例1验证方程F化川=y-x如y=0在点(0,0)满足隐函数存在唯- 5《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 5 可确定函数组    = = ( ) ( ) t t y z z y ，代入 u = f (x, y,z,t) 即 得 u 是 x, y 的函数 u = f (x, y,z( y),t( y)) . 对方程组      = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t u f x y z t 求微分，得      + = + + = = + + + 0 (3) 0 (2) (1) h dz h dt g dy g dz g dt du f dx f dy f dz f dt z t y z t x y z t 记 ( , ) ( , ) z t g h J   = ，若 J  0 ，由（2）（3）式 J g h dy h g dy g J dz y t t y t − = − = 0 1 , J g h dy h g g dy J dt y z z z y = − = 0 1 , 代入（1）得 x y z du = f dx + f dy + f J g h dy − y t J g h dy f y z + t dy J f h f h f dx f g t z z t x y y [ ] − = + + dy z t h f J g f dx f y x y ] ( , ) ( , ) [   = + + , 故 x f x u =   ， y u   ( , ) ( , ) z t h f J g f y y   = + . 注: 利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些. 四、隐函数可微性定理: 定理 设函数 F(x, y) 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在 D 内 F (x, y) x 存在且连续 . 则隐函数 y = f (x) 在区间 ( , ) x0 − x0 + 内可导 , 且 ( , ) ( , ) ( ) F x y F x y f x y x  = − . 例 1 验证方程 sin 0 2 1 F(x, y) = y − x − y = 在点 ( 0 , 0 ) 满足隐函数存在唯一