《数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海南大学数学系 存在且与分割T与点5,1，S)的取法无关，则称此极限为函数P,Q,Rd曲 面S所指定的一侧的第二型曲面积分，记为 ∬Pyt+O,yd+Rxy=d (1) 上述积分(1)也可写作 ∬P,.ow.y.-a∬h迹 第二型曲面积分的性质 O们考厂Pt+Q+R的 (1=12,.,n)都存在，9(1=1,2，.，n), 为常数，则有 ②eRht+{2e0t+区cR ef p.dod=+Q.dds Rdedy (2)若曲面S由两两无公共内点的曲面块S,S.S所组成， fjPdt+Od-dx+Rk山 (i=1,2,.,n)都存在，则 ∬P,t+0ky=t+Rk,y=达 也存在，且 ∬P代tyMt+0yd+,y 三Pt+Qh+脑 二、第二型曲面积分的计算 定理2.2设R为定义在光滑曲面S::=t,)(K,川eD,上的连续函 数，以S的上侧为正侧（这时S的法线正向与：轴正向成锐角），则有 ∬Rx,y,dJ∬Rx,ykyd (2) 证明由第二型曲面积分的定义《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 2 存在且与分割 T 与点 ( )  i i  i , , 的取法无关，则称此极限为函数 P ，Q ，R d 曲 面 S 所指定的一侧的第二型曲面积分，记为 ( ) ( ) ( )  + + S P x, y,z dydz Q x, y,z dzdx R x, y,z dxdy ， (1) 上述积分(1)也可写作 ( )  S P x, y,z dydz + ( )  S Q x, y,z dzdx + ( )  S R x, y,z dxdy . 第二型曲面积分的性质 (1)若  + + S Pidydz Qidzdx Ridxdy （ i = 1,2,  , n ）都存在， i c （ i = 1,2,  , n ）， 为常数，则有 c P dydz c Q dzdz c R dxdy n i i i n i i i S n i i i        +       +          =1 =1 =1 =   = + + n i S ci pidydz Qidzdx Ridxdy 1 . （2）若曲面 S 由两两无公共内点的曲面块 1 2 S ,S . n S 所组成，  + + Si Pdydz Qdzdx Rdxdy （ i = 1,2,  , n ）都存在，则 ( ) ( ) ( )  + + S P x, y,z dydz Q x, y,z dzdx R x, y,z dxdy 也存在，且 ( ) ( ) ( )  + + S P x, y, z dydz Q x, y, z dzdx R x, y, z dxdy =  = + + n i Si Pdydz Qdzdx Rdxdy 1 . 二 、第二型曲面积分的计算 定理 22.2 设 R 为定义在光滑曲面 S ： ( ) ( ) Dxy z = z x, y x, y  ，上的连续函 数，以 S 的上侧为正侧（这时 S 的法线正向与 z 轴正向成锐角 ），则有 ( )  S R x, y,z dxdy = ( ( ))  Dxy R x, y,z x, y dxdy . （2） 证明 由第二型曲面积分的定义