《数学分析》下所 第二十二章曲面积分 海南大学数学系 hR之Rn5,As,m∑飞n5.nAs 这里d=m,J因门=5的直径，0，立刻可推得d=mS,0. 由相关函数的连续性及二重积分的定义有 jeh卧之形，nEn》A。,所以 ∬Rt,yk∬R(x,y,y 类似地，P为定义在光滑曲面S:x=)小eD=上的连续函数时， 而S的法线方向与x轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有 Py=t∬P6.以，=t D Q为定义在光滑曲面S:y=(,)(仁，eD:上的连续函数时，而S的法 线方向与'轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有 ∬o,ykk∬Q(x,y,x,ykd 注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果S的法线方向与相应坐标轴的 正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“_”号 阁1计算小 ,其中S是球面+少2+：2=1在x之0，y20部分并取 球面外侧. 解曲面在第一，五卦限间分的方程分别为 S:=-2-y,k川eD,={xp2+y2s1x20,y20 5:=-y,k列eDn={xk2+y≤1x≥0，y20 ∬yz∬xyz小∬zh +S ∬-少-∬-产-rk 《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 3 ( )  S R x, y,z dxdy =  ( ) = →  n i i i i i T xy R S 1 0 lim  , , =  ( ( )) = →  n i i i i i i d xy R S 1 0 lim  , ,  , ， 这里 ( ) xy d = max Si ，因  i的直径 i n T S   = 1 max → 0 ，立刻可推得 ( ) xy d = max Si → 0， 由相关函数的连续性及二重积分的定义有 ( ( ))  Dxy R x, y,z x, y dxdy =  ( ( )) = →  n i i i i i i d xy R S 1 0 lim  , ,  , ，所以 ( )  S R x, y,z dxdy = ( ( ))  Dxy R x, y,z x, y dxdy . 类似地, P 为定义在光滑曲面 S ： ( ) ( ) Dyz x = x y,z y,z  上的连续函数时， 而 S 的法线方向与 x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有 ( )  S P x, y,z dydz = ( ( ) )  Dxy P x y,z , y,z dydz . Q 为定义在光滑曲面 S ： ( ) ( ) Dzx y = y z, x z, x  上的连续函数时，而 S 的法 线方向与 y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有 ( )  S Q x, y,z dzdx = ( ( ))  DZX Q x, y,z x, y dzdx . 注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果 S 的法线方向与相应坐标轴的 正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号 例 1 计算  S xyzdxdy ，其中 S 是球面 1 2 2 2 x + y + z = 在 x  0, y  0 部分并取 球面外侧． 解 曲面在第一，五卦限间分的方程分别为 1 S ： 2 2 z1 = 1− x − y ， ( , ) ( , ) 1, 0, 0 2 2 x y  Dxy = x y x + y  x  y  ， 2 S ： 2 2 z2 = − 1− x − y ， ( , ) ( , ) 1, 0, 0 2 2 x y  Dxy = x y x + y  x  y  ，  S xyzdxdy =  S1 xyzdxdy +  S2 xyzdxdy =  − − Dxy xy x y dxdy 2 2 1  − − − − Dxy xy x y dxdy 2 2 1