由a1(x)的表达式可知,x=0,x=±∞时,a1(x)=0。显然不是最大几率的位 置 而 )-2a2x(2x-2a2x3)e (1 DIe d21(x) <0 x=土一 可见x=±=±,是所求几率最大的位置。# 26在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称:U(-x)=U(x),证明粒子的 定态波函数具有确定的宇称 证:在一维势场中运动的粒子的定态S方程为 v(x)+U(xy(x)= Ey(x) 2u dx 将式中的x以-x)代换,得 方2d y(-x)+U(-x)y(-x)=Ev( 利用U(-x)=U(x),得 h2 d2 y(-x)+U(x)(-x)=Ev(-x) 比较①、③式可知,ψ(-x)和v(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态 的波函数。由于它们描写的是同一个状态,因此v(-x)和v(x)之间只能相差 个常数c。方程①、③可相互进行空间反演(x-x)而得其对方,由①经 x→>-x反演,可得③, 由③再经-x→>x反演,可得①,反演步骤与上完全相同,即是完全等价的。 ④乘⑤,得 y(x)y (-x=cy(x(-x 可见,c2=1 当c=+1时,v(-x)=v(x),→v(x)具有偶宇称, 当c=-1时,v(-x)=-v(x),→v(x)具有奇宇称,由 ( ) 1  x 的表达式可知， x = 0，x =  时， 1 (x) = 0 。显然不是最大几率的位 置。 2 2 2 2 [(1 5 2 )] 4 [(2 6 ) 2 (2 2 )] ( ) 2 2 2 4 4 3 2 2 2 2 3 3 2 1 2 x x x x e x x x x e dx d x             − − = − − 而 = − − − 0 4 1 2 ( ) 3 2 1 2 1 2 = −  = dx e d x x    可见    =  =  1 x 是所求几率最大的位置。 # 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称： U(−x) = U(x) ，证明粒子的 定态波函数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d     − + =  ① 将式中的 x以(−x) 代换，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d −  − + −  − =  −   ② 利用 U(−x) = U(x) ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d −  − +  − =  −   ③ 比较①、③式可知， (−x)和(x) 都是描写在同一势场作用下的粒子状态 的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此 (−x)和(x) 之间只能相差一 个常数 c 。方程①、③可相互进行空间反演 (x  −x) 而得其对方，由①经 x →−x 反演，可得③，  (−x) = c(x) ④ 由③再经− x → x 反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。  (x) = c(−x) ⑤ ④乘 ⑤，得 (x) ( x) c (x) ( x) 2   − =   − 可见， 1 2 c = c = 1 当 c = +1 时，  (−x) = (x)，(x) 具有偶宇称， 当 c = −1 时， (−x) = −(x)，(x) 具有奇宇称