40.0 04.0 =dd.d (9) l00.d 对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式(9)说明了对角形行列式的值等于主对角线 上元素的乘积 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把个元素按行指标排起来事实上，数的乘法是 交换的，因而这n个元素的次序是可以任意写的，一般地，n级行列式中的项可以写成 a.0 (10) 其中.，2.jn,是两个n级排列利用排列的性质，不难证明，(10)的符号等于 (-l)45h (11) 事实上，为了根据定义来决定(11)的符号，就要把这个元素重新排一下使得它们的行指标成自然顺 序，也就是排成 a4r42g.am (12) 于是它的符号是 （-y) (13) 现在米证明(1)与(13)是致的.我们知道，由(10)变到(12)可以经过一系列元素的对换米实现每作一次对 换元素的行指标与列指标所成的排列，.i,与.n,就都同时作一次对换，也就是2.) 与t(j2.j)同时改变奇偶性，因而它们的和（中.）+t(2.j)的奇偶性不改变这就是说， 对(10)作一次元素的对换不改变(1)的值因此，在一系列对换之后有 (-1)5*U-》=(-1)252)=(-1)-2) 这就证明了(1)与(13)是一致的. 例如，a14244a:是4级行列式中一项，t(2314)-2,t1243)=1于是它的符号应 为.(-)21=-1如按行指标排列起来，就是a41a2a,t(4123)=3因而它的符号也是(-l)=-】 按(1山)米决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定 每一项的符号，我们同样可以把每一项按列指标排起来于是定义又可写成 a1a2.a2 =∑(-lrwaaa (14) aa2.am 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 n n d d d d d d =  (9) 对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.(9)说明了对角形行列式的值等于主对角线 上元素的乘积. 在行列式的定义中,为了决定每一项的正负号,我们把个元素按行指标排起来.事实上,数的乘法是 交换的,因而这 n 个元素的次序是可以任意写的,一般地, n 级行列式中的项可以写成 1 2 1 2 n j j nj a a a (10) 其中 1 2 , n i i i 1 2 , n j j j 是两个 n 级排列.利用排列的性质,不难证明,(10)的符号等于 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1) n n  i i i r j j j + − (11) 事实上,为了根据定义来决定(11)的符号,就要把这个元素重新排一下使得它们的行指标成自然顺 序,也就是排成 1 2 1 2 n j j nj a a a    (12) 于是它的符号是 1 2 ( ) ( 1) n r j j j    − (13) 现在来证明(11)与(13)是致的.我们知道,由(10)变到(12)可以经过一系列元素的对换来实现.每作一次对 换,元素的行指标与列指标所成的排列 1 2 , n i i i 与 1 2 , n j j j 就都同时作一次对换,也就是 1 2 ( ), n  i i i 与 1 2 ( ) n  j j j 同时改变.奇偶性,因而它们的和 1 2 ( ) n  i i i + 1 2 ( ) n  j j j 的奇偶性不改变.这就是说, 对(10)作一次元素的对换不改变(11)的值.因此,在一系列对换之后有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1) n n  i i i r j j j + − 1 2 (12 ) ( ) ( 1) n   n j j j +    = − 1 2 ( ) ( 1) n  j j j    = − 这就证明了(11)与(13)是一致的. 例 如 , 21 32 14 43 a a a a 是 4 级 行 列 式 中 一 项 ,  (2314) 2 = ,  (1243) 1 = 于 是 它 的 符 号 应 为. 2 1 ( 1) 1 + − = − 如按行指标排列起来,就是 14 21 32 43 a a a a , (4123) 3 = 因而它的符号也是 3 ( 1) 1 − = − 按(11)来决定行列式中每一项的符号的好处在于,行指标与列指标的地位是对称的,因而为了决定 每一项的符号,我们同样可以把每一项按列指标排起来,于是定义又可写成 1 2 1 2 1 2 11 12 12 21 22 22 ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n n i i i i i ni i i i n n nn a a a a a a a a a a a a  = −  (14)