《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 (六)、点集的直径d(E):两点的距离p(B,B) 两点的距离：pB,D)=Vx-x)户+0y-) 点集的直径，d国器P,) (七)、三角不等式： 1x-x21(或y-为2)≤Vg-x)尸+0出-乃2)≤到x-x+|-乃 三、点列的极限：设P=(x。y),R=(x,%) 定义mP=R的定义（用邻域语言）· 例4(x。出)→(x为)白x→x,.→，(n→0) 例5设P为点集E的一个聚点·则存在E中的点列{P},使 mP。=R 四、R2中的完备性定理 (一)、Cauchy收敛准则： 定理16.1(Cauchy准则)平面点列{P}收敛的充要条件是：对任意e>0, 存在N,n>N时，对一切正整数p,都有 p(P.Pp)<E 先证{(x,y,)}为Cauchy列一{x,}和y,}均为Cauchy列. (二)、闭域套定理：P89. 定理16.2（闭域套定理）设D}是中的闭域列，它满足： (i)D.D.n=1,2,(ii)d.=d(D.),"d.=0, 则存在惟一的点Po∈Da,n=l,2,.《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 4 （六）、点集的直径 d(E) ： 两点的距离 ( , )  P1 P2 . 两点的距离： 2 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) P P x x y y = − + − 点集的直径： （七）、三角不等式： | | 1 2 x − x （或 | | 1 2 y − y ） ( ) ( ) | | | | 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2  x − x + y − y  x − x + y − y . 三、 点列的极限: 设 ( , ) n n n P = x y , ( , ) 0 0 0 P = x y . 定义 0 lim Pn P n = → 的定义 ( 用邻域语言 ) . 例４ ( , ) n n x y → ( , ) 0 0 x y  0 x x n → , 0 y y n → , ( n →  ) . 例５ 设 P0 为点集 E 的一个聚点 . 则存在 E 中的点列 { } Pn , 使 0 lim Pn P n = → . 四、 2 R 中的完备性定理: （一）、 Cauchy 收敛准则: 定理 16.1 （Cauchy 准则）平面点列{ P n }收敛的充要条件是：对任意   0 ， 存在 N n N ,  时，对一切正整数 p,都有 ( , )   P P n n p +  先证{ ( , ) n n x y }为 Cauchy 列  { }n x 和 { }n y 均为 Cauchy 列. （二）、闭域套定理: P89. 定理 16.2 (闭域套定理)设{Dn}是 R 2中的闭域列，它满足： (i) Dn  Dn+1，n=1，2，.； (ii) dn =d(Dn), 0 lim n→ dn = ， 则存在惟一的点 Po∈Dn，n=1，2，.．