In"xdx=In"xd Inx n+1 当 时, In"xdx ln In1(n=1,2,3,…) 1+a 其中 x (7)I d√1- x1-x2+(n-Df- dx 1-x2+(n-1) 于是 其中= arcsin x+C,l1=--x2+C。 (8)Ln=∫ d u d√1+x +2n 2 2n(In,+I) 于是 +x In1(n=2,34,…) 其中l C, 1,=In +c 1+x+1 (ax +b)dx (ax +b)dx 9.导出求∫+2x+nyx2+25x+n 和∫(ax+b)x2+2x+n2型不 定积分的公式。 解∫ax+b) d(x2+25x+n2) dx +n22 +(b-a5)I n = ∫ − x xdx n ln 1 = 1 1 ln ln ln 1 n n x d x x C n + = + + ∫ ； 当α ≠ −1时， I n = ∫ x xdx n ln α ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ + = ∫ + + − dx x x x n x x n n 1 ln ln 1 1 1 α 1 α 1 α I ( 1,2,3, ) 1 ln 1 1 1 1 = " + − + = − + n n x x n n α α α ， 其中 1 0 1 1 I x C α α + = + + 。 （7）I n = x x dx n 1 2 − ∫ x d x x x n x x dx n 1 2 n 1 2 n 2 2 = − 1− = − 1− + ( −1) 1− ∫ ∫ − − − dx x x x x x n n n ∫ − − = − − + − − − 2 2 2 1 2 1 (1 ) 1 ( 1) 1 ( 1)(I I ) 2 1 2 n n n = −x − x + n − − − − ， 于是 I n = I ( 2,3,4, ) 1 1 1 2 1 2 = " − − − + − − n n n x x n n n ， 其中 2 0 1 I = + arcsin x C, I = − 1− x + C 。 （8）I n = dx x x n 1+ ∫ dx x x n x x x d x ∫ n n ∫ n+ + + + = + = 1 1 2 1 2 1 2 2 (I I ) 1 2 1 1 2 1 2 1 1 n n n n n n x x dx x x x n x x + + + = + + + + = + ∫ + , 于是 I n = I (n 2,3,4, ) 2 2 1 2 3 1 1 1 1 = " − − − + − − n− n− n n x x n 。 其中 0 I = + 2 1 x C+ , 1 1 1 ln 1 1 x I C x + − = + + + 。 9．导出求 (ax b)dx x x + + + ∫ 2 2 2ξ η ， ( ) ax b dx x x + + + ∫ 2 2 2ξ η 和∫ ( ) ax + + b x x + dx 2 2 2ξ η 型不 定积分的公式。 解 (ax b)dx x x + + + ∫ 2 2 2ξ η = ∫ ∫ + + − + − + + + + 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( 2 ) 2 ξ η ξ ξ ξ η ξ η x dx b a x x a d x x 183