解答:体心立方 习题解答 1.用无限深势阱代替周期性边界条件,即在边 界处有无限高势垒,试确定 1)波矢k的取值和k空间状态密度 2)能量空间状态密度 3)零温度时的费米能级和电子气总能 4)电子出现在空间任何一点的几率 PR击 阱边界条件与周 5° 那里?用哪个边界条件更符合实 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 波函数 状态数 ·耻波:尝试解(分高变量·平面波:尝试解(三雄) ·耻波解:k空间,常数 平面波解:k空间,常 后的结杲。y,类同) 每个状态的体积为 敷,每个状态的体积为 1/Ak dr)=Ae △k=(2r) 代入方程后得到 ·鞋波条件时,n只取正整·平面波条件时,n能取 敷,所以只分布在k空间数,所以能分布在些个k 用驻波边界条件,得 用周期性边界条件,得 的算一急限,因此,只空阃因此,整个球亮体 有1/8的球壳体积 =,1=xy三=正整数k=n,=x,y,三n=整数 ·用归一条件得 用归一备件得 所以,E-E+dE的状态傲·所以,E-E+E的状态敷 dN=二-4水 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 状态密度,费米能级,平均能量 出现在空间任一点的几率,平均动量 ·驻波、平面波解,对E(k)关系求导 平面波解 凡率为 几率为 于是 dN= wf=sink, sink,sin 平均动量(y,z类同) 平均动量 ·费米能级 E ·平均能量 http:Ia45].132ichey 是学2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 解答：体心立方 i k j a1 a3 a2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 3 2 1 a i j k a i j k a i j k = + + − = + − + = − + + a a a 2 109.5 3 2 arcsin 2 0 = = α http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 习题解答 1. 用无限深势阱代替周期性边界条件，即在边 界处有无限高势垒，试确定： 1) 波矢k的取值和k空间状态密度 2) 能量空间状态密度 3) 零温度时的费米能级和电子气总能 4) 电子出现在空间任何一点的几率 5) 平均动量 6) 由上面这些结果得出：无限深势阱边界条件与周 期性边界条件的解有什么不同？两种边界条件的 解的根本差别在那里？用哪个边界条件更符合实 际情况？更合理？为什么？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 波函数 • 驻波：尝试解(分离变量 后的结果。y,z类同) • 代入方程后得到 • 用驻波边界条件，得 • 用归一条件得 • 平面波：尝试解(三维) • 用周期性边界条件，得 • 用归一条件得 ( ) ik x ik x x x x Ae Be− ϕ1 = + A k x k y k z x y z ψ = sin sin sin i = i i = x y z ni = 正整数 L n k , , , ; π L V A 8 8 3 = = ( ) k r r ⋅ = i ψ Ae i = ni i = x y z ni = 整数 L k , , , ; 2π V A 1 = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 状态数 • 驻波解：k空间，常数， 每个状态的体积为 • 驻波条件时，n只取正整 数，所以只分布在k空间 的第一象限，因此，只 有1/8的球壳体积 • 所以，E~E+dE的状态数 • 平面波解：k空间，常 数，每个状态的体积为 • 平面波条件时，n能取整 数，所以能分布在整个k 空间因此，整个球壳体 积。(问：一维时如何？) • 所以，E~E+dE的状态数 /V 3 Δk = π k dk 2 4 8 1 π k dk V dN 2 3 4 8 2 1 π π = (2 ) /V 3 1/ Δk Δk = π k dk 2 4π ( ) k dk V dN 2 3 4 2 2 π π = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 状态密度，费米能级，平均能量 • 驻波、平面波解，对E(k)关系求导 • 于是 • 费米能级 • 平均能量 dk m k dE 2 2 2 h = dE E m dk 2 1 2 1 1/ 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = h EdE V m dN 3/ 2 2 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = π h 0 5 3 EF N U = ( )2/3 2 0 3 2 n m EF π h = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 出现在空间任一点的几率，平均动量 • 驻波解 • 几率为 • 平均动量(y, z类同) • 平面波解 • 几率为 • 平均动量 k x k y k z V x y z sin sin sin 8 ψ = k x k y k z V x y z 2 2 2 2 sin sin sin 8 ψ = ( ) k r r ⋅ = i e V 1 ψ V 2 1 ψ = 0 sin cos 2 0 = = ∂ ∂ < >= ∫ ∫ L x x x x xdx L n x L n i n L dxdydz i x p π π π ψ ψ h h r k r p h h = ∂ ∂ < >= ∫ d i ψ ψ