讨论 第11讲、倒格子 此解 行波解 1.为什么倒空间? 驻波解不是动量算符的·平面波解又称行波解,是 2.晶格的 Fourier变换 本征解。因此,尽 管电 动量算 符的本征解电子 子是适动的,但其平均 有确定的动量和速度 3.倒格子 动量为零 平面波解在空间各点出现 4.二錐倒格子 电子在势垒反射下,来 的几率一样,空间分布是 5.重要的例子 加形成鞋波,空间分布·平面波解符合自由电子气 不是常教,有起伏 7.正、倒格子对应关系 体性质 周期性边条件是无限体系 的数学处理,与晶体周期 性无美 换个空间看晶体结构 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 1、为什么倒空间( reciprocal space)? 正坐标空间〈哪倒动量空间 ·一个物理问题,既可以在正(坐标)空间描写 教学:(正)格子 观察:X射线衍射 也可以在侧(动量空间描写 观察;显微忧? 数学:侧格子 坐标表象r,动量表象 适当地选取一个表象,可使问题简化容易处理 正空间的格矢R描写周期性;在动量空间? 这两个空间完全是等价的 只是一个变换 k? 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 2、晶格的 Fourier变换 因为Fr=F(r+R),就有 p(r)=∑P-(-R) F(r+R,)e-i,d 势能、电荷密度等滿足选加原理的物理量 F(r)=∑f(r-R) 作变量瞽换,r=r+R,就有 FK, =F(r') 如果晶体具有平移周期性R1=Rn+Rn ·则是R的周期函数F(r+R)=F(r) F(rldr 可对其作 Fourier展开F(r)=∑F, ·Fk称为 Fourier系数,两边乘共軛因子e FK.(I 后积分 2k°R=1K·R m整数 2 即如有平移周期性,那么就在 Fourier空间存在Kh F.=Fr“ 矢量溝足这个关系要问K究竟是什么? 种们45.2413he园体:学 趣452413 binche物理学3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 讨论 驻波解 • 驻波解不是动量算符的 本征解。因此，尽管电 子是运动的，但其平均 动量为零 • 电子在势垒反射下，来 回往复运动，波函数迭 加形成驻波，空间分布 不是常数，有起伏 行波解 • 平面波解又称行波解，是 动量算符的本征解。电子 有确定的动量和速度 • 平面波解在空间各点出现 的几率一样，空间分布是 常数 • 平面波解符合自由电子气 体性质 • 周期性边条件是无限体系 的数学处理，与晶体周期 性无关 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 第11讲、倒格子 1. 为什么倒空间？ 2. 晶格的Fourier变换 3. 倒格子 4. 二维倒格子 5. 重要的例子 6. Brillioun区 7. 正、倒格子对应关系 换个空间看晶体结构 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 1、为什么倒空间(reciprocal space)？ • 一个物理问题，既可以在正(坐标)空间描写， 也可以在倒(动量)空间描写 * 坐标表象r，动量表象k • 适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理 * 比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但 k守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单 • 正空间的格矢(Rl )描写周期性；在动量空间？ • 这两个空间完全是等价的 * 只是一个变换 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 正(坐标)空间 倒(动量)空间 • 数学：(正)格子 • 观察：显微镜? • 观察： X射线衍射 • 数学：倒格子 r r r rr r rr k？ 周期性 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 2、晶格的Fourier变换 • 势能、电荷密度等满足迭加原理的物理量 = ∑ ( ) − l V V Rl r r atom ( ) • 可对其作Fourier展开 • FKh称为Fourier系数，两边乘共轭因子 后积分 • 如果晶体具有平移周期性 Rl = Rm + Rn • 则是Rl 的周期函数 F(r R ) F(r) + l = = ∑ ( − ) l l F(r) f r R ∑ • = h i h h F F e K r K (r) ( ) ∑ ∫ ∫ − • − • r = r r K K r K r K F e d V e d V F h h h h i h i ( ) 1 1 ' ' ' = ∑ ( − ) l Rl r r atom ρ( ) ρ r r K r K F e d V F h h −i • ∫ = ( ) 1 − K •r h i e http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 • 因为F(r)= F(r+Rl )，就有 r r K r K F e d V F h h −i • ∫ = ( ) 1 ( ') ' 1 ( ' ) r r K r K R K F e d V F h h l h −i • − • ∫ = • 作变量替换，r’=r+Rl ，就有 • 即 (1− ) = 0 •h l h i F e K R K h h l i i F e d e V K r K R r r − • • ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∫ ( ') ' 1 ' h l h i F e K R K • = r R r K r F e d V h i l − • ∫ = ( + ) 1 ≠ 0 h FK =1 •h l i e K R Kh • Rl = 2πm, m整数 • 即如有平移周期性，那么就在Fourier空间存在Kh 矢量满足这个关系。要问Kh 究竟是什么？